6.10 Die allgemeine Scheitelpunktform einer Parabel

Aus den vergangenen Kapiteln wissen wir, dass man aus der Normalparabel durch beliebige Verschiebungen in x-Richtung und/oder y-Richtung sowie Streckung bzw. Stauchung in y-Richtung verschiedene Parabel entwickeln kann.

Oft können wir aus den gegebenen Funktionstermen anhand charakteristischer Merkmale die Entwicklung aus der Normalparabel durch Angabe des Scheitels und der jeweiligen Streckung bzw. Stauchung beschreiben:

• \(f(x)=x^2+1 \hspace{21mm}\) Scheitel \(S(0|1) \) mit Form der Normalparabel
• \(f(x)=-2(x-4)^2 \hspace{10mm}\) Scheitel \(S(4|0)\); nach unten offen; Streckungsfaktor \(2\)
• \(f(x)=0,3x^2-7 \hspace{13mm}\) Scheitel \(S(0|-7)\); nach oben offen; Stauchungsfaktor \(0,3\)
• \(f(x)=3(x+2)^2-3 \hspace{5mm}\) Scheitel \(S(-2|-3)\); nach oben offen; Streckungssfaktor \(3\)

 

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

Entwicklung der Scheitelpunktform

 

Scheitelpunktform zuverlässig erkennen und anwenden!

 

 

Merke: Aus der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion \[f:x \mapsto y= a \cdot (x-d)^2+e \] können wir die Lage des Graphen im Koordinatensystem eindeutig bestimmen: Der Graph von \(f\) ist eine Parabel mit dem Scheitel \(S(d|e)\). Für \(|a|>1\) ist der Graph gegenüber der Normalparabel in y-Richtung gestreckt und wirkt dadurch enger. Für \(|a|<1\) ist der Graph gegenüber der Normalparabel in y-Richtung gestaucht und wirkt dadurch breiter. Für \(a>0\) ist die Parabel nach oben geöffnet und für \(a<0\) nach unten.

 

 

 

 

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