Beliebige Parabeln

6.9 Beliebige Parabeln

Nachdem wird in den vorherigen Kapiteln Parabeln untersucht haben, die sich aus der Normalparabel durch eine Verschiebung in x-Richtung und/oder in y-Richtung ergaben

Im diesem Kapitel werden wir Parabeln kennenlernen, die zusätzlich zu einer beliebigen Verschiebung enger oder weiter werden. D.h. ihre Funktionsgraphen werden gegenüber der Normalparabel gestreckt oder gestaucht.

a) Enge und weite Parabeln ohne Verschiebung

In der folgenden Zeichnung sind die Graphen der folgenden Funktionen abgebildet:

\( f(x)=x^2 \hspace{10mm} \) gelb
\(g(x)=\frac{1}{2} \cdot x^2 \hspace{10mm}\) lila
\(h(x)=2 \cdot x^2 \hspace{10mm}\) rot
\(k(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^2 \hspace{10mm}\) türkis
\(m(x)=-x^2 \hspace{10mm}\) grün

Beliebige Parabeln

Weite und enge Parabeln aus der Normalparabel entwickeln

Gespiegelte Parabeln aus der Normalparabel entwickeln

Hefteintrag

6.9 Beliebige Parabeln

a) Enge und weite Parabeln mit Scheitel S (0 | 0)

Anhand der Funktionsgraphen erkennen wir folgende Zusammenhänge:

Die Parabel der Funktion \(h(x)=2x^2\) wird gegenüber dem Funktionsgraph der Normalparabel in y-Richtung gestreckt, da die Funktion \(h\) dem gleichen x-Wert den doppelten Funktionswert zuordnet. Die Parabel wirkt dadurch enger!
Die Parabel der Funktion \(g(x)=\frac{1}{2}x^2\) wird gegenüber dem Funktionsgraph der Normalparabel in y-Richtung gestaucht, da die Funktion \(g\) dem gleichen x-Wert nur den halben Funktionswert zuordnet. Die Parabel wirkt dadurch breiter!
Die Parabel der Funktion \(k(x)=-\frac{1}{2}x^2\) erhalten wir durch Spiegelung des Graphen von \(g(x)=\frac{1}{2}x^2\) an der x-Achse!

Merke:

Alle Graphen von quadratischen Funktionen der Form \(f: x \mapsto y=ax^2\) mit \(a \neq 0 \) sind Parabeln, die abhängig vom Wert von \(a\) in y-Richtung gestreckt oder gestaucht und auch an der x-Achse gespiegelt werden.
Die Koordinaten des Scheitels können wir stets mit \(S (0|0) \) angeben.

Es gilt:

Ist \( |a|>1\), dann ist die Parabel enger als die Normalparabel
Ist \( |a|<1\), dann ist die Parabel breiter als die Normalparabel
Ist \( a>0\), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
Ist \( a<0\), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

Ende vom Hefteintrag

b) Enge und weite Parabeln in y-Richtung verschoben

Gestreckte und gestauchte Parabeln können auch in y-Richtung verschoben werden, wie folgende Videos zeigen.

Gestreckte und gestauchte Parabeln in y-Richtung verschieben

Nach unten geöffnete Parabel aus der Normalparabel entwickeln

Hefteintrag

b) Enge und weite Parabeln in y-Richtung verschoben

Ergebnis:
Wir erkennen solche Parabeln zuverlässig an der eindeutigen Struktur des gegebenen Funktionsterms:

Der Graph der Funktion \(f(x)=a \cdot x^2+e\) ist gegenüber der Normalparabel

um den Wert von \(e\) in y-Richtung verschoben,
der zusätzlich gemäß dem Faktor \(a\) gestaucht bzw. gestreckt wird.

Beispiele:

\( f(x)=0.1x^2-1\)

\( g(x)=-2,3x^2+17\)

Ende Hefteintrag

Aufgabe:
Gib an, ob folgende Parabeln gegenüber der Normalparabel enger bzw. weiter sind und ob der jeweilige Graph nach oben oder nach unten offen ist. Bestimme die Koordinaten des Scheitels.

Zeichne die Graphen ordentlich in ein Koordinatensystem ohne eine Wertetabelle zu erstellen!

\(f(x)=0,25x^2+4\)
\(g(x)=-3x^2-1\)
\(h(x)=-0,5x^2+3\)
\(k(x)=x^2-5\)

c) Enge und weite Parabeln in x-Richtung verschoben

Gestreckte und gestauchte Parabeln können natürlich auch in x-Richtung verschoben werden. Folgendes Video verdeutlicht die Entwicklung aus dem Graphen der Normalparabel.

Hefteintrag

c) Enge und weite Parabeln in x-Richtung verschoben

Ergebnis:
Wir erkennen solche Parabeln zuverlässig an der eindeutigen Struktur des gegebenen Funktionsterms:

Der Graph der Funktion \(f(x)=a \cdot (x-d)^2\) ist gegenüber der Normalparabel

um den Wert von \(d\) in x-Richtung verschoben,
der zusätzlich gemäß dem Faktor \(a\) gestaucht bzw. gestreckt wird.

Beispiele:

\( f(x)=0,7 \cdot (x-7)^2\)

\( g(x)=-2,3 \cdot (x+3)^2\)

Ende Hefteintrag

evtl. Aufgaben, zusätzliche Quellen, weitere Informationen

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