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6.6 Summenform der quadratischen Funktion

Bei vielen Termen von quadratischen Funktionen können wir bereits zielsicher erkennen, dass ich der zugehörige Funktionsgraph aus der Normalparabel durch eine Verschiebung in x- oder y-Richtung ergibt und damit auch die Koordinaten des Scheitels S sofort angeben.

 

Wiederholung

 

Beispiele:

  • \(f(x)=x^2-0,5 \hspace{10mm} \Rightarrow \space\) Verschiebung in y-Richtung \( \hspace{10mm} \Rightarrow \space S(0/-0,5)\)
  • \(g(x)=x^2+3,7 \hspace{10mm} \Rightarrow \space\) Verschiebung in y-Richtung \( \hspace{10mm} \Rightarrow \space S(0/3,7)\)
     
  • \(k(x)=(x-1,1)^2 \hspace{10mm} \Rightarrow \space\) Verschiebung in x-Richtung \( \hspace{10mm} \Rightarrow \space S(1,1/0)\)
  • \(m(x)=(x+\frac{3}{4})^2 \hspace{10mm} \Rightarrow \space\) Verschiebung in x-Richtung \( \hspace{10mm} \Rightarrow \space S(\frac{3}{4}/0)\)

Mit Hilfe der typischen Funktionswerte des Graphen der Normalparabel mit dem Funktionsterm \(f(x)=x^2\) können wir die zugehörigen Funktionsgraphen ausgehend vom ermittelten Scheitel problemlos zeichnen.

 

Summenform der quadratischen Funktion

Bei Funktionen wie beispielsweise \(fx)=x^2+6x+9\) können wir nicht unmittelbar erkennen, ob ihr Graph eine verschobene Normalparabel ist

 

Wir halten fest:
Für bestimmte Terme von quadratischen Funktionen können wir mit Hilfe von binomischen Formeln den Term in die Faktordarstellung umformen und wie gewohnt die Verschiebung in x- Richtung und die Koordinaten des Scheitels erkennen.

 

Hefteintrag

6.6 Summenform I einer quadratischen Funktion

Liegt eine quadratische Funktion in Summendarstellung z.B. \(f(x)=x^2+2x+0,25\) dann können wir nicht sofort erkennen,  ob sich die Funktion aus der Normalparabel \(f(x)=x^2\) durch eine Verschiebung in x- Richtung ergibt.

Mit Hilfe der der 1. binomischen Formel und der 2. binomischen Formel können wir den Summenterm gegebenenfalls in die Faktordarstellung umformen und wie gewohnt die Verschiebung in x- Richtung und die Koordinaten des Scheitels erkennen.

Achtung:
Nicht jede Summenform einer quadratischen Funktion stellt eine binomische Formel dar! In diesen Fällen können wir die zugehörige Verschiebung nicht durch Anwendung der binomischen Formel ermitteln.

 

Beispiele:

\(f(x)=x^2-10x+25=x^2-2 \cdot x \cdot 5 + 5^2=(x-5)^2 \Rightarrow S(5|0) \)

Der Graph der Funktion f ergibt sich also aus der Normalparabel durch eine Verschiebung in x-Richtung um 5 Einheiten nach rechts.

 

\(g(x)=x^2+3x+2,25=x^2+2 \cdot x \cdot 1,5 + 1,5^2=(x+1,5)^2 \Rightarrow S(-1,5|0) \)

Der Graph der Funktion g ergibt sich also aus der Normalparabel durch eine Verschiebung in x-Richtung um 1,5 Einheiten nach links.

 

Hausaufgabe Lösung