Bereits in der 8. Jahrgangsstufe haben wir uns mit Schnittproblemen beschäftigt, die nach einem verständlichen Muster lösen können:
\(\Rightarrow\) Funktionsterme gleichsetzen und nach x auflösen!
Mit der Einführung der quadratischen Funktionen müssen wir in Verbindung mit unseren bisher bekannten Funktionen zur Lösungen unsere Mitternachtsformel verwenden, wie das folgende Video zeigt:
Zwei Beispiele für die Lage von Parabel und Gerade
Beim Lösen mathematischer Problemstellungen werden Zusammenhänge oft durch Graphen dargestellt. Dabei kann es vorkommen, dass die gemeinsamen Punkte zweier Funktionen bzw. deren Graphen gesucht werden. Die x-Koordinate eines gemeinsamen Punktes zweier Funktionsgraphen erfüllt dann beide Funktionsgleichungen.
Dieser x-Wert kann näherungsweise graphisch ermittelt werden und ganz exakt auf rechnerischem Weg.
Beispiel: \(f:x \mapsto y=\frac{x+3}{x} \) und \(g:x\mapsto y=x-1 \)
| Graphische Lösung: | Rechnerische Lösung: | |
| Zeichne beide Funktionsgraphen exakt in ein KOSY und lies die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ab. | Setzte beide Funktionsterme gleich und löse nach der Variablen, gewöhnlich x, auf. | |
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\(f(x)=g(x)\) \( \frac{x+3}{x}=x-1 \hspace{15mm} | \cdot x \) \( x+3 =x^2-x \hspace {9mm} | -x^2+x\) \(-x^2+2x+3=0\) Lösen mit Mitternachtsformel: \(x_{1/2}= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{-2}= \frac{-2 \pm 4}{-2}\) \( \Rightarrow x_1=-1\) und \( x_2=3 \) |
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Die y-Koordinaten der Schnittpunkte erhalten wir durch Einsetzen der
gemeinsamen x-Werte in eine der beteiligten Funktionsgleichungen. In unserem
Fall ist die Berechnung über die Geradengleichung der einfachere
Weg.
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1. Parabel-Parabel