Terme von quadratischen Funktionen können neben der Scheitelpunktform \(f: x \mapsto y=a \cdot (x-d)^2+e \) auch in der allgemeinen Form \(f:x \mapsto y=ax^2+bx+c\) dargestellt werden.
Durch Anwendung der jeweiligen binomischen Formel kann eine quadratische Funktion aus der Scheitelpunktform in die allgemeine Form umgewandelt werden:
Nach Anwendung der binomischen Formel muss der entstandene Term noch vereinfacht werden und die quadratische Funktion liegt in der allgemeinen Form vor.
Die Koeffizienten (Zahlenwerte) des Terms in der allgemeinen Form bekommen die Bezeichner \(a\), \(b\) und \(c\). Wir erkennen, dass aufgrund der Umformungen mit der binomischen Formel der Wert von \(\color{red}{a} \) in der Scheitelpunktform identisch dem Wert in der allgemeinen Form ist.
Nach Anwendung der binomischen Formel gilt:
\[f(x)=\color{red}{a} \cdot (x-d)^2+e =\color{red}{a}\cdot x^2+bx+c\]
Merke: Jede quadratische Funktion lässt sich auch in der allgemeinen Form \[f:x \mapsto y=ax^2+bx+c \] darstellen. Streckung/Stauchung und Seite der Öffnung können wir am Faktor \(a\) auch in dieser Darstellung erkennen. Informationen hinsichtlich der Lage des Scheitels fehlen jedoch. Aus der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion \[f:x \mapsto y= a \cdot (x-d)^2+e \] können wir zusätzlich die Lage des Scheitels im Koordinatensystem eindeutig bestimmen: Wir halten fest:
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7.1 Quadrat. Ergänzung