Ist der Term einer quadratischen Funktion in der allgemeinen Form \(f(x)=ax^2+bx+c\), dann können wir die Lage der Parabel im Koordinatensystem nicht ohne Weiteres angeben, da uns die notwendigen Informationen zum Scheitel fehlen.
Im diesem Kapitel lernen wir ein Verfahren kennen, mit dem wir die Nullstellen direkt aus der allgemeinen Form berechnen können.
| Können wir zwei Nullstellen einer quadratischen
Funktion berechnen, dann kennen wir auch den x-Wert des Scheitels.
Dieser liegt aufgrund der Symmetrie des Graphen genau in der Mitte
zwischen den beiden Nullstellen! Falls wir genau eine Nullstelle finden, dann entspricht dieser genau dem x-Wert des Scheitels. |
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Liegt der Term einer Parabel in der allgemeinen Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) vor, dann können wir mit folgendem Verfahren die Nullstellen direkt anhand des Terms berechnen, ohne dass wir jeden Term in die Scheitelpunktform umwandeln müssen.
Zur Bestimmung einer Formel zur Berechnung der Nullstellens setzen wir diesen allgemeinen Funktionsterm gleich null,
\[f(x) = 0 \hspace{10mm} \Leftrightarrow \hspace{10mm} ax^2+bx+c =0\]
führen die notwendigen Schritte der quadratischen Ergänzung durch und lösen den Term nach \(x\) auf:
Über die Anwendung der quadratischen Ergänzung auf die allgemeine Form der quadratischen Funktion können wir uns eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\) erarbeiten und für diese dann die Bestimmung der Nullstellen verwenden!
| Setze \(f(x)=0 \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm}ax^2+bx+c =0\) | \( | : a\) | |
| \(x^2+\frac{b}{a}x+ \frac{c}{a} =0\) | ||
| \(x^2 +2 \cdot\frac{b}{2a} \cdot x+\color{red}{ (\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2}+\frac{c}{a}=0\) | Quadratisch ergänzen! | |
| \( \biggl( x^2 +2 \cdot\frac{b}{2a} \cdot x+\color{red}{ (\frac{b}{2a})^2}\biggr) \color{red}{-(\frac{b}{2a})^2}+\frac{c}{a}=0\) | ||
| \( \biggl( x+\frac{b}{2a} \biggr)^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0 \) | \( | \space +(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a} \) | |
| \( \biggl( x+ \frac{b}{2a} \biggr)^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a} \) | ||
| \( \biggl( x+ \frac{b}{2a} \biggr)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} \) | 1. Klammer auflösen: \((\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2}{4a^2}\) 2. Bruch erweitern mit: \( \frac{c \cdot 4a}{a \cdot 4a} \) |
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| \( \biggl( x+ \frac{b}{2a} \biggr)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \) | Zusammenfassen und dann \( \sqrt{....}\) | |
| \( x+ \frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) | \( | -\frac{b}{2a} \) | |
| \( x =- \frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) |
Grundlegende Beispiele
Sichere Einsetzen der Parameter unter Beachtung der Vorzeichen
7.2.2 Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung
Liegt der Term einer Parabel in der allgemeinen Form \(f(x)=a x^2+bx+c\) vor, dann können wir mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Lösungsformel für die allgemeine quadratischen Gleichung \(âx^2+bx+c=0\) herleiten und damit Nullstellen unserer Funktion \(f\) berechnen:
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Merke: Eine quadratische Gleichung der Form \(ax^2+bx+c=0\) mit \(a \neq0 \) hat die Lösungen: \[ x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Dabei gilt:
Der Term \(D=\sqrt{b^2-4ac}\) heißt Diskriminante D. Mit ihrer Hilfe kann entschieden werden, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt. |
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7.1 Quadrat. Ergänzung