7.2.1 Nullstellen quadratischer Funktionen (Scheitelpunktform)

Je nach Lage des Scheitels und der Öffnung einer Parabel hat eine quadratische Funktion entweder

zwei Nullstellen, eine Nullstelle oder keine Nullstelle, wie auch die Beispiele der rechts abgebildeten Funktionen zeigen.

 

Nullstellen und Scheitelpunktform

Liegt der Term einer quadratischen Funktion in der Scheitelpunktform \(f(x)=a \cdot (x-d)^2+e\) vor, dann können wir Lage des Scheitels S und Öffnung der Parabel unmittelbar ablesen und  schnell die Anzahl der Nullstellen angeben.

 

Beispiele:

• \(f(x)=-0,5 (x+4)^2+8 \hspace{5mm} \Rightarrow\)  \(S(-4 | 8) \) , nach unten offen, zwei Nullstellen
• \(g(x)=2 (x-3)^2 \hspace{24mm} \Rightarrow\)  \(S(3 | 0) \) , nach oben offen, eine Nullstelle
• \(g(x)=-0,2 (x+1)^2-2 \hspace{5mm} \Rightarrow\)  \(S(-1 | -1) \) , nach unten offen, keine Nullstellen

 

Berechnung der Nullstellen aus der Scheitelpunktform: 

Zur Berechnung möglicher Nullstellen müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen und diese Gleichung wenn möglich nach \(x\) auflösen.

Berechnung der Nullstellen durch Auflösen nach x!

Deute aus den Ergebnissen deiner Berechnung die Lage des Graphen

 

Hefteintrag

 

7.2.1 Berechnung der Nullstellen aus der Scheitelpunktform: 

Zur Berechnung möglicher Nullstellen müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen und diese Gleichung wenn möglich nach \(x\) auflösen.

 

Beispiel:

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x)=0,75 \cdot(x-2)^2-3 \).

Setze zur Lösung der Gleichung den Funktionsterm gleich null und löse diese nach \(x\) auf!

\(0,75 \cdot(x-5)^2-3=0 \)		Setze den Funktionsterm gleich null!
\((x-5)^2= \frac{3}{0,75}\)		\(| \space +3; \space : 0,75\)
\(\sqrt{ (x-5)^2}= \sqrt{4}\)		\(| \space \sqrt{...} \)
\((x-5)= \pm 2\)		Plus-Minus bei Wurzeln aus einem Quadrat beachten!
\(x_{1/2}= \pm 2 +5\)		Es gibt zwei Nullstellen: \(x_1=3\) und \(x_2=7\)

Beachte dabei stets:
Wurzel dürfen nie aus negativen Zahlen gezogen werden!

 

Ende Hefteintrag

 

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