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6.3 Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung

Auf Grundlage der Wertetabelle mit den Funktionswerten für die Funktion \(f:x \mapsto f(x)=x^2\) der Normalparabel und zwei weiteren Beispielen können wir unkompliziert eine Regel für die Verschiebung eines Funktionsgraphen in y-Richtung angeben.

 

Grundlegende Gedanken

Wir können uns zuerst überlegen, wie wir einen einzelnen Punkt verschieben können.

  • Angenommen wir wollen den Punkt \( (-1,5|2,25) \) von unserer Normalparabel um \(3\) Einheiten in positiver y-Richtung verschieben,
  • dann würden wir zum y-Wert einfach \(3\) addieren
  • und hätten den Punkt \( (-1,5 | 5,25 ) \) ins Koordinatensystem eingetragen.

 

Verschieben von Funktionsgraphen

Um jeden Punkt unserer Normalparabel um \(3\) Einheiten nach oben zu verschieben, müssen wir diesen Rechenschritt in der Zuordnungsvorschrift umsetzen und die Zahl \(3\) zum Funktionsterm \( f(x)=x^2\) addieren:

\( \hspace{40mm} \Rightarrow g(x) = x^2+3 \)

 

Wollen wir den Funktionsgraphen um \(2\) Einheiten nach unten verschieben, müssen wir vom Funktionsterm \( f(x)=x^2\) die Zahl \(2\) subtrahieren.

\( \hspace{40mm} \Rightarrow h(x) = x^2-2 \)

 

Wertetabellen zur Bestätigung dieser Denkweise

Die folgenden Wertetabelle zeigen diesen Sachverhalt durch der jeweiligen Funktionswerte der ausgewählten x-Werte. Vergleiche dazu die Funktionswerte der Funktionen an der gleichen x-Stelle und die Funktionsterme der Funktionen.

 

Wertetabelle der Funktion \(f: x \mapsto y=x^2\):

x -3 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y=f(x) 9 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 9

 

Wertetabelle der Funktion \(g: x \mapsto y=x^2+3\):

x -3 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y=f(x) 12 7 5,25 4 3,25 3 3,25 4 5,25 7 12

 

Wertetabelle der Funktion \(h: x \mapsto y=x^2-2\):

x -3 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y=f(x) 7 2 0,25 -1 -1,75 -2 -1,75 -1 0,25 2 7

 

Entwicklung der Graphen

 

 

Regel:

Auf Grundlage der Wertetabelle mit den Funktionswerten für die Funktion \(f:x \mapsto f(x)=x^2\) der Normalparabel erkennen wir folgenden Zusammenhang:

Der Graph \(G_f\) der Funktion \(f:x \mapsto y=x^2+c\) mit \(c \in R\) entsteht aus der Normalparabel durch Verschiebung in y- Richtung.

  • Verschiebung um \(c\) nach oben, falls  \(c>0\)
  • Verschiebung um \( |c| \) nach unten, falls  \(c<0\)

Der Graph \(G_f\) hat also die Form der Normalparabel mit dem Scheitel \(S (0 | c) \).

 Verschiebung in y-Richtung

 

Aufgabe

 Zeichne den Graphen \(G_f\) der Funktion \(f\) jeweils in ein extra Koordinatensystem. Gib die Koordinaten des Scheitels \(S\) und die Wertemenge \(W_f\) an. Begründe anhand des Funktionsterms, ob der Graph Schnittpunkte mit der x-Achse haben kann und berechne diese auch!

a)  \(f(x)=x^2-5\)

b)  \(f(x)=x^2+1,5\)