Rechnungen mit Bruchtermen müssen so weit wie möglich vereinfacht werden. Dabei ist der Bruch in der Regel so umzuformen, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht.
Auch unser Taschenrechner gibt das Ergebnis ohne Wurzel im Nenner aus:
Beispiel:
Geben
wir in den Taschenrechner \(\color{red}{3 \div{} \sqrt{5}} \)
ein, dann erhalten wir als Ergebnis:
Finden wir im Nenner eines Bruches eine einfache Wurzel oder einen Wurzelterm dann führen folgende Techniken oft zum Ziel, um die Wurzel im Nenner zu beseitigen:
| Alle Umformungen, die zur Beseitigung von Wurzeln im Nenner führen, werden als span class="auto-style2">Rationalmachen des Nenners bezeichnet. |
Ein Bruchterm ist äußerst unangenehm, wenn im Nenner eine oder mehrere Wurzeln enthalten sind. Diese Wurzel(n) kann man mit geschicktem Erweitern beseitigen!
Nenner mit einer Wurzel:
| \( \frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6 \cdot \color{red}{ \sqrt{2}}}{\sqrt{2}\cdot \color{red}{ \sqrt{2}}}=\frac{6 \sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\) |
\( \hspace{6cm}\Rightarrow \) Erweitere mit der Wurzel im Nenner!
Nenner mit einer Summe aus Wurzeln:
| \( \frac{6}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}=\frac{6 \cdot (\color{red}{\sqrt{11}+\sqrt{5}})}{(\sqrt{11}-\sqrt{5})\cdot (\color{red}{\sqrt{11}+\sqrt{5}})} = \frac{6 \cdot (\sqrt{11}+\sqrt{5})}{11-5}= \frac{6 \cdot (\sqrt{11}+\sqrt{5})}{6}=\sqrt{11}+\sqrt{5}\) |
\( \hspace{6cm}\Rightarrow \) Erweitere zur 3. binomischen Formel im Nenner!
Durch die Anwendung der binomischen Formeln lassen sich manche Bruchterme so umformen, dass sie gekürzt werden können. Dazu muss Zähler und/oder Nenner mit den binomischen Formeln faktorisiert werden.
Beispiel 1:
| \( \frac{3x^2-6x+3}{x-1}\) | \(=\frac{3 \cdot (x^2-2x+1)}{x-1}\) | |
| \(=\frac{3 \cdot (x^2-2x \cdot 1+1^2)}{x-1}\) | 2. bin. Formel erkennen | |
| \(=\frac{3 \cdot (x-1)^2}{(x-1)}=3 \cdot (x-1)\) | Anwenden und kürzen! |
Beispiel 2:
| \( \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) | \(=\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) | Rechenregeln für Wurzeln erzeugen die 3. bin. Formel |
| \(=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\) | Bin. Formal anwenden! | |
| \(=\sqrt{x}-\sqrt{y}\) | Kürzen! |
Aufgabe:
Du weißt, dass \(\sqrt{5} \approx 2,2 \) und \(\sqrt{15} \approx
3,9 \) .
Berechne nachfolgende Brüche ohne Verwendung des
Taschenrechners näherungsweise mit diesen Werten!
a) \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)
b) \( \frac{3}{\sqrt{15}-\sqrt{5}} \)
1. Definition Wurzel