Für das Rechnen mit reellen Zahlen sind selbstverständlich alle bekannten Rechengesetze gültig, die wir aus dem Rechnen mit rationalen Zahlen kennen.
In den folgenden Regel stehen die Platzhalter \(a, b, c\) für beliebige reelle Zahlen, also auch Quadratwurzeln.
Kurzschreibweise: \(a, b, c \in \mathbb{R} \)
| Kommutativgesetz der Addition: | \(a+b=b+a\) |
| Kommutativgesetz der Multiplikation | \(a \cdot b=b \cdot a\) |
| Assoziativgesetz der Addition | \(a+(b+c) = (a+b)+c\) |
| Assoziativgesetz der Multiplikation | \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\) |
| Distributivgesetz | \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \) |
Mit Hilfe der Rechengesetze können wir uns bei der Berechnung beliebiger Terme erhebliche Rechenvorteile verschaffen.
Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln ist nur bei gleichen Quadratwurzeln möglich:
\(4 \color{red}{\sqrt{11}} + 13 \color{red}{\sqrt{11}} = 17 \color{red}{\sqrt{11}} \)
\(3 \color{red}{\sqrt{5}} - 13 \color{red}{\sqrt{5}} = -10 \color{red}{\sqrt{5}} \)
Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln
| \(a \sqrt{c} + b\sqrt{c}=(a+b) \sqrt{c} \) | mit \(a, b \in \mathbb{R}; c \in \mathbb{R}_0^+ \) |
| \(a \sqrt{c} - b\sqrt{c}=(a-b) \sqrt{c} \) |
Unmöglich ist das Addieren (Subtrahieren) von unterschiedlichen Quadratwurzeln, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt:
| \( \sqrt{64} + \sqrt{36} = \) | \( \sqrt{100}\) | Wenn wir diese "Vereinfachung" machen dürften, müsste links und rechts vom Gleichheitszeichen der selbe Wert stehen. |
| \( 8 + 6 \neq \) | \(10 \) | Berechne alle Wurzel und prüfe kritisch! |
Bei der Multiplikation und Division von Quadratwurzeln können auch unterschiedliche Quadratwurzeln zusammengefasst werden.
| \(\sqrt{16} \cdot \sqrt{25}=\sqrt{16 \cdot 25} \) | da \( 4 \cdot 5 = \sqrt{400}=20 \) |
| \(\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} =\sqrt{\frac{100}{4}} \) | da \( \frac{10}{2}=\sqrt{25}=5 \) |
Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Quadratwurzeln
| \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab} \) | mit \(a, b \in \mathbb{R}_0^+ \) |
| \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\sqrt{\frac{a}{b}} \) | mit \(a \in \mathbb{R}; c \in \mathbb{R}^+ \) |
Sonderfall: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a \cdot a} = \sqrt{a^2}=a \)
Übertrage den Hefteintrag in dein Schulheft und erledige die dazugehörige Hausaufgabe!
| Hefteintrag | Aufgabe | Lösung |
1. Definition Wurzel