1.2 Irrationale Zahlen

 

Will man die Länge der Diagonale \(b\) des rechtsstehenden Quadrats mit der Kantenlänge \(1cm\) bestimmen, führt die folgende Flächenbetrachtung mit Hilfe eines doppelt so großen Quadrats mit der Quadratwurzel zum Ziel:

• Die Diagonale \(b\) teilt das kleine Quadrat in zwei gleichgroße Dreiecke.
• Vier dieser Dreiecke bauen wir wiederum das große Quadrat auf.

Der Vergleich der Flächeninhalte \(A_K\) des kleinen Quadrats und \(A_G\) des großen Quadrats führt offensichtlich zu folgenden Ergebnissen:

\(A_K=1cm^2\)

\(A_G=2cm^2\)

Für die Länge der Strecke \(b\), erhalten wir aus der allgemeinen Flächenberechnung für Quadrate und der Berechnung von Quadratwurzel somit:

 \(\hspace{2cm} A_G=b \cdot b = 2 \hspace {2mm} cm^2 \hspace {2 cm} \Rightarrow\)  \( \hspace{1cm}b = \sqrt{2} \hspace {2mm} cm\)

  

Für die Länge der Diagonalen \(b\) erhält man somit:     \(b= \sqrt{2} \hspace{2mm} cm\)

 

Problem: Rationale Zahlen Q

Wiederholung Unsere mächtigste Menge an Zahlen ist bisher die Menge der rationalen Zahlen \(Q\).   Die Menge der rationalen Zahlen \(Q\) enthält alle positiven und negativen Brüche einschließlich der Null. - Jede rationale Zahl lässt sich also als Bruch \( \frac{z}{n} \) darstellen. - Ein Bruch kann als endlicher oder periodischer Dezimalbruch angegeben werden.

 

Es gibt aber auch Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. Diese Zahlen nennt man irrationale Zahlen.

 

\( \sqrt{2} \) ist eine irrationale Zahl, die nicht in den rationalen Zahlen \(Q\) enthalten ist.

 

Folgerung:

Unsere Menge der rationalen Zahlen \(Q\) reicht also nicht aus, um alle möglichen Zahlen aufzunehmen. Wir müssen unseren Zahlenraum um die irrationalen Zahlen erweitern.

 

\( \sqrt{2}\)  ist keine Zahl der Zahlenmenge Q

Mit einem Widerspruchsbeweis wird nun gezeigt, dass \( \sqrt{2} \) nicht in den rationalen Zahlen \(Q\) enthalten ist.

 

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Annahme:
Dazu nehmen wir zuerst an, dass \( \sqrt{2} \) ein den rationalen Zahlen  \(Q\) enthalten ist und somit als vollständig gekürzter Bruch  \( \large \frac{z}{n} \) darstellbar ist: 

   \(\large \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{z}{n} \)
 

Zähler und Nenner sind also teilerfremde Zahlen, da vollständig gekürzte Brüche vorliegen.

 

Quadriert man beide Seiten der Gleichung, so erhält man:
 
\(\large \hspace{2cm}( \sqrt{2} )^2 = ( \frac{z}{n} )^2 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 2 = \frac{z^2}{n^2}  \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 2 \cdot n^2= z^2  \)
 

Das Quadrat des Zählers \(z^2\)  ist zweimal das Quadrat des Nenners \(n^2\) und daher eine gerade Zahl.
 

Es gilt folgender Zusammenhang: Wenn das Quadrat einer Zahl gerade ist, dann ist auch die Zahl selbst gerade   Wenn also \(z^2\) gerade ist, dann ist auch der Zähler \(z\) gerade.

 

Da \(z\) eine gerade Zahl ist, muss also es eine ganze Zahl \(k\) geben, mit der sich \(z\) wie folgt berechnen lässt:
 

\(z = 2 \cdot k \) und damit:

\(z^2=(2k)^2=2n^2 \Rightarrow 4k^2=2n^2 \Rightarrow 2k^2=n^2\)  

 

Widerspruch:
Nun erkennt man den Wiederspruch zur obigen Annahme, dass \( \sqrt{2}\) darstellbar ist durch den vollständig gekürzten Bruch \(  \frac{z}{n} \):

• \(z^2\) ist gerade und damit auch \(z\)
• \(n^2\) ist gerade und damit auch \(n\)
  
• Damit wäre aber \(  \frac{z}{n} \)  mit \(2\) zu kürzen, was lt. Annahme nicht möglich sein kann.

 

\(\Rightarrow \sqrt{2}\)  kann nicht in den rationalen Zahlen \(Q\) enthalten sein!

 

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