Die erste oder zweite binomische Formel ist beim Wurzelziehen sehr häufig hilfreich. Dabei kann es aber sein, dass eine der beiden Formeln durch geeignetes Ausklammern erzeugt werden muss.
Erst durch die geschickte Anwendung der binomischen Formeln können wir aus scheinbar komplizierten Summentermen die Wurzel zu ziehen.
Dabei müssen wir die binomischen Formel in "umgekehrter Richtung" anwenden und die gegebenen Summenterme in Produktterme umwandeln. Die Summe wird so als Produkt aus zwei gleichen Faktoren dargestellt:
| \(a^2+2ab+b^2 =\) | \( (a+b)^2\) | (1. binomische Formel) |
| \(a^2-2ab+b^2 =\) | \( (a-b)^2\) | (2. binomische Formel) |
| \(\sqrt{a^2+2ab+b^2} \) | \( =\sqrt{(a+b)^2}= |a+b|\) |
| \(\sqrt{x^2+8x+16} \) | \(=\sqrt{x^2+2 \cdot x \cdot 4+4^2}= \sqrt{(x+4)^2}= |x+4|\) |
| \(\sqrt{3x^2-30x+75} \) | \(=\sqrt{3 \cdot(x^2-10x+25)}=\) |
| \(=\sqrt{3} \cdot \sqrt{(x^2-10x+ 25)}\) | |
| \(=\sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2-2 \cdot x \cdot 5 + 5^2})\) | |
| \(=\sqrt{3} \cdot \sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{3} \cdot |x-5|\) |
Faktorisierung:
Falls diese Bedingungen erfüllt sind, kann der Term mit der ersten oder zweiten binomischen Formel faktorisiert werden. Dabei legt das Vorzeichen des dritten (nichtquadratischen) Summanden (Mischterm) die jeweilige Formel fest.
1. Definition Wurzel