1.1 Definition Quadratwurzeln

Anhand der einführenden Beispiele aus 1. Quadratwurzel liegt folgende Definition für den Begriff der Quadratwurzel einer Zahl nahe:

 

Definition

 

Für jede Zahl a mit  \(a \geq 0\)  ist  \( \sqrt {a}\)  diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat a ergibt. D.h. die Quadratwurzel von  \(a\)  ist die nicht-negative Zahl  \(\sqrt{a}\),  die mit sich selbst multipliziert \(a\) ergibt.

 

• Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand.
• Das Berechnen der Wurzel heißt Wurzelziehen oder Radizieren.

Beachte:

• Das eindeutige Ergebnis aus \(\sqrt{a}\) ist stets größer oder gleich null.
• Man darf nur aus der Null oder von positiven Zahlen die Wurzel ziehen.

  

Beispiele

Beispiele:	\( \sqrt{36} = 6 \)	da  \(6 \cdot 6 = 36\)
	\( \sqrt{25}=5 \)	da  \(5 \cdot 5 = 25\)
	\( \sqrt{169} = 13 \)	da \(13 \cdot 13 = 169\)

  

Wurzel als Umkehrung vom Quadrieren

Diese Beispiele zeigen sehr anschaulich, dass Quadrieren und die Berechnung der Quadratwurzel sind gegenseitige Umkehrrechnungen. 

• Quadrieren macht die Berechnung der Quadratwurzel rückgängig und
• umgekehrt die Quadratwurzel auch das Quadrieren.

  

Weitere Beispiele

\( \sqrt{1}=1 \hspace {2cm} \)	da  \(1 \cdot 1=1\)
\( \sqrt{4}=2 \hspace {2cm} \)	da  \(2 \cdot 2=4\)
\( \sqrt{169}=13 \hspace{1.15cm}  \)	da  \(13 \cdot 13=169\)
\( \sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{2}{9}  \hspace{1.4cm}  \)	da  \( \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} =\frac{4}{81} \)
\( \sqrt{0,0004}=0,02 \hspace {2cm} \)	da  \(0,02\cdot 0,02=0,0004\)

   

Beispiele mit Brüchen

Grundlage der Berechnung der Quadratwurzel aus Brüchen ist die Kenntnis der Regel zur Multiplikation von Brüchen:

Regel zur Multiplikation von Brüchen:   Zwei Brüche  \( \frac{z_1}{n_1} \)  und  \( \frac{z_2}{n_2} \)  werden miteinander multipliziert, indem jeweils die beiden Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden.           Kurzschreibweise:   \( \frac{z_1}{n_1} \cdot \frac{z_2}{n_2}= \frac{z_1 \cdot z_2}{n_1 \cdot n_2}\)

 

Beispiele:

\( \sqrt { \frac{81}{625}} =\frac{9}{25} \)	da  \( \frac{9}{25} \cdot \frac{9}{25} =\frac{81}{625} \)
\( \sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}  \hspace{1.4cm}  \)	da  \( \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} =\frac{4}{49} \)
\( \sqrt { \frac{64}{144}} =\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \)	da  \( \frac{8}{12} \cdot \frac{8}{12} =\frac{64}{144} \)

Beachte:  Prüfe stets, ob du den Bruch nach dem Wurzelziehen noch kürzen kannst.

 

Beispiele mit Dezimalzahlen

Zur Berechnung von Quadratwurzeln aus einer Dezimalzahl muss man sich

1. das Komma wegdenken,
2. die Anzahl der Dezimalen merken,
3. die Wurzel aus der Zahl ohne Komma mit Hilfe der Quadratzahlen ziehen
4. und das Komma mit Hälfte der Dezimalstellen wieder einfügen.

 

Beispiel 1:	Bestimme die Quadratwurzel von	\( \sqrt{1,69}\)
	Komma wegdenken und zwei Dezimalstellen merken:	\(\sqrt{169}=13\)
	Ergebnis erhält eine Dezimalstelle:	\( \sqrt{1,69} =1,3 \)

 

Beispiel 2:	Bestimme die Quadratwurzel von	\( \sqrt{0,0009}\)
	Komma wegdenken und vier Dezimalstellen merken:	\(\sqrt{9}=3\)
	Ergebnis erhält zwei Dezimalstellen:	\( \sqrt{0,0009} =0,03 \)

 

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