8.6 Eigenschaften der Binomialverteilung

Welchen Einfluss haben die Länge \(n\) der Bernoulli-Kette, d.h. die Anzahl der Versuche eines Bernoulli-Experiments und die Wahrscheinlichkeit \(p\) auf die Binomialverteilung?

Zur Beantwortung dieser Frage können wir im folgenden Applet für das rote Histogramm jeweils einen der Werte festhalten, den zweiten variieren und die Veränderungen beobachten.

Für die Darstellung des grünen Histogramms ist \(n=20\) bereits fixiert.

 

Eigenschaften der Binomialverteilung

 

Ergebnis: Betrachten wir die Histogrammflächen für verschiedene Werte von \(n\) und \(p\) dann erkennen wir folgende grundlegenden Eigenschaften: Das Maximum der Binomialverteilung, d.h. die Stelle k mit der größten Wahrscheinlichkeit, rückt mit wachsendem p nach rechts. Das Maximum liegt in der Nähe des Erwartungswertes \(\mu=n \cdot p\), der mit \(n\) monoton zunimmt. Für \(p=0,5\) ist die Verteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\) mit \(B(n;0,5;k)=B(n;0,5;n-k) \) Die Binomialverteilung verläuft bei konstantem \(p\) umso flacher, desto größer \(n\) gewählt wird.

  

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