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8.3 Bernoulli-Formel

Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal voneinander unabhängig wiederholt, d.h. die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer bleibt gleich, dann sprechen wir von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

In der Regel interessieren wir uns bei einer Bernoulli-Kette der Länge n nicht nur für ein spezielles "Trefferbild" sondern vielmehr

  • für die Anzahl k der Treffer unter diesen n Experimenten
  • bzw. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau diese k Treffer eintreten,

was uns unmittelbar zur Formel von Bernoulli führt.

 

Formel von Bernoulli 

Wir werden die Formel von Bernoulli in dieser Einheit anhand mehrerer Beispiele plausibel machen.

Bernoulli-Formel:
Ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p gegeben und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer an, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer unter den n Experimenten: 

\(P^n_p(X=k)=B(n; p; k)=\binom {n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} =\binom {n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\)

 

Nehmen wir einen fünffachen Würfelwurf und betrachten folgende Verteilungsmöglichkeiten in 0/1-Codierung für genau zwei Treffer, wobei ein Treffer die Zahl \(6\) sein soll und vergleichen jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse:

Trefferbild Berechnung Ergebnis
\(00101\)  \( \frac{5}{6} \cdot  \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \hspace{5mm} =\)  \( (\frac{1}{6})^2 \cdot  (\frac{5}{6})^3 \)
\(10010\)  \( \frac{1}{6} \cdot  \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \hspace{5mm} =\)  \( (\frac{1}{6})^2 \cdot  (\frac{5}{6})^3 \)
\(00110\)  \( \frac{5}{6} \cdot  \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \hspace{5mm} =\)  \( (\frac{1}{6})^2 \cdot  (\frac{5}{6})^3 \)
     

Alle diese Verteilung der Treffer sind günstig für das Ereignis "Genau 2 Treffer unter den 5 Würfen". Insgesamt berechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 5 Würfen genau 2 Treffer sind aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Trefferbilder. 

 

Anzahl der Trefferbilder für k Treffer

Aus dem obigen Beispiel wird offensichtlich, dass alle verschiedenen Trefferbilder die selbe Wahrscheinlichkeit haben. Kennen wir die Anzahl aller möglichen Trefferbilder, dann können wir schnell die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bestimmen, wie folgenden Beispiele zeigen:

 


Bernoulli-Kette der Länge 5

Bestimme die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf, dass genau 2 Treffer unter den 5 Experimenten (Würfen) sind.

Die Abbildung zeigt alle 10 möglichen Trefferbilder für 2 Treffer auf 5 Stellen.

Aus der Kombinatorik wissen wir auch , dass es \(\binom {5}{2} \) Möglichkeiten gibt, 2 Stellen aus 5 Stellen auszuwählen, auf die wir die Treffer legen können.

Es gilt allgemein:    \(\binom {5}{2} = 10\)

Wir haben also 10 mögliche Trefferbilder, wobei jedes einzelne mit der Wahrscheinlichkeit  \( (\frac{1}{6})^2 \cdot  (\frac{5}{6})^3 \) auftritt.
  

Insgesamt erhalten wir mit diesen Grundlagen die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer unter 5 Würfen eines Würfels:

\[P^5_{\frac{1}{6}}(X=2)=B \left (5; \frac{1}{6};2 \right )=\binom {5}{2} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^2 \cdot \left (\frac{5}{6}\right )^3 =16,08 \%\]

  


Bernoulli-Kette der Länge 10

Bestimme die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf, dass genau 4 Treffer unter den 10 Experimenten (Würfen) sind.

Die Abbildung zeigt alle 20 möglichen Trefferbilder für 4 Treffer auf 6 Stellen.

Aus der Kombinatorik wissen wir auch , dass es \(\binom {6}{4} \) Möglichkeiten gibt, 4 Stellen aus 6 Stellen auszuwählen, auf die wir die Treffer legen können.

Es gilt allgemein:    \(\binom {6}{4} = 20\)

Wir haben also 20 mögliche Trefferbilder, wobei jedes einzelne mit der Wahrscheinlichkeit  \( (\frac{1}{6})^4 \cdot  (\frac{5}{6})^2 \) auftritt.
  

Insgesamt erhalten wir mit diesen Grundlagen die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer unter 6 Würfen eines Würfels:

\[P^6_{\frac{1}{6}}(X=4)=B \left (6; \frac{1}{6};4 \right )=\binom {6}{4} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4 \cdot \left (\frac{5}{6}\right )^2 =0,80 \%\]

  


Bernoulli-Kette der Länge 4

Bestimme die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf, dass genau 2 Treffer unter den 4 Experimenten (Würfen) sind.

  Die Abbildung zeigt alle 6 möglichen Trefferbilder für 2 Treffer auf 4 Stellen.

Aus der Kombinatorik wissen wir auch , dass es \(\binom {4}{2} \) Möglichkeiten gibt, 2 Stellen aus 4 Stellen auszuwählen, auf die wir die Treffer legen können.

Es gilt allgemein:    \(\binom {4}{2} = 6\)

Wir haben also 6 mögliche Trefferbilder, wobei jedes einzelne mit der Wahrscheinlichkeit  \( (\frac{1}{6})^2 \cdot  (\frac{5}{6})^2 \) auftritt.
  

Insgesamt erhalten wir mit diesen Grundlagen die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer unter 4 Würfen eines Würfels:

\[P^4_{\frac{1}{6}}(X=2)=B \left (4; \frac{1}{6};2 \right)=\binom {4}{2} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^2 \cdot \left (\frac{5}{6}\right )^2 =11,57 \%\]