Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal voneinander unabhängig wiederholt, d.h. die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer bleibt gleich, dann sprechen wir von einer Bernoulli-Kette der Länge n.
In der Regel interessieren wir uns bei einer Bernoulli-Kette der Länge n nicht nur für ein spezielles "Trefferbild" sondern vielmehr
was uns unmittelbar zur Formel von Bernoulli führt.
Wir werden die Formel von Bernoulli in dieser Einheit anhand mehrerer Beispiele plausibel machen.
Bernoulli-Formel: Ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p gegeben und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer an, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer unter den n Experimenten: \(P^n_p(X=k)=B(n; p; k)=\binom {n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} =\binom {n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) |
Nehmen wir einen fünffachen Würfelwurf und betrachten folgende Verteilungsmöglichkeiten in 0/1-Codierung für genau zwei Treffer, wobei ein Treffer die Zahl \(6\) sein soll und vergleichen jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse:
Trefferbild | Berechnung | Ergebnis |
\(00101\) | \( \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \hspace{5mm} =\) | \( (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3 \) |
\(10010\) | \( \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \hspace{5mm} =\) | \( (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3 \) |
\(00110\) | \( \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \hspace{5mm} =\) | \( (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3 \) |
Alle diese Verteilung der Treffer sind günstig für das Ereignis "Genau 2 Treffer unter den 5 Würfen". Insgesamt berechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 5 Würfen genau 2 Treffer sind aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Trefferbilder.
Aus dem obigen Beispiel wird offensichtlich, dass alle verschiedenen Trefferbilder die selbe Wahrscheinlichkeit haben. Kennen wir die Anzahl aller möglichen Trefferbilder, dann können wir schnell die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bestimmen, wie folgenden Beispiele zeigen:
Bernoulli-Kette der Länge 5
Bestimme die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf, dass genau 2 Treffer unter den 5 Experimenten (Würfen) sind.
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Die Abbildung zeigt alle 10 möglichen Trefferbilder
für 2 Treffer auf 5 Stellen. Aus der Kombinatorik wissen wir auch , dass es \(\binom {5}{2} \) Möglichkeiten gibt, 2 Stellen aus 5 Stellen auszuwählen, auf die wir die Treffer legen können. Es gilt allgemein: \(\binom {5}{2} = 10\) Wir haben also 10 mögliche Trefferbilder, wobei jedes einzelne mit der Wahrscheinlichkeit \( (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3 \) auftritt. |
Insgesamt erhalten wir mit diesen Grundlagen die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer unter 5 Würfen eines Würfels:
\[P^5_{\frac{1}{6}}(X=2)=B \left (5; \frac{1}{6};2 \right )=\binom {5}{2} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^2 \cdot \left (\frac{5}{6}\right )^3 =16,08 \%\]
Bernoulli-Kette der Länge 10
Bestimme die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf, dass genau 4 Treffer unter den 10 Experimenten (Würfen) sind.
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Die Abbildung zeigt alle 20 möglichen Trefferbilder
für 4 Treffer auf 6 Stellen. Aus der Kombinatorik wissen wir auch , dass es \(\binom {6}{4} \) Möglichkeiten gibt, 4 Stellen aus 6 Stellen auszuwählen, auf die wir die Treffer legen können. Es gilt allgemein: \(\binom {6}{4} = 20\) Wir haben also 20 mögliche Trefferbilder, wobei jedes einzelne mit der Wahrscheinlichkeit \( (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^2 \) auftritt. |
Insgesamt erhalten wir mit diesen Grundlagen die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer unter 6 Würfen eines Würfels:
\[P^6_{\frac{1}{6}}(X=4)=B \left (6; \frac{1}{6};4 \right )=\binom {6}{4} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4 \cdot \left (\frac{5}{6}\right )^2 =0,80 \%\]
Bernoulli-Kette der Länge 4
Bestimme die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf, dass genau 2 Treffer unter den 4 Experimenten (Würfen) sind.
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Die Abbildung zeigt alle 6 möglichen Trefferbilder
für 2 Treffer auf 4 Stellen. Aus der Kombinatorik wissen wir auch , dass es \(\binom {4}{2} \) Möglichkeiten gibt, 2 Stellen aus 4 Stellen auszuwählen, auf die wir die Treffer legen können. Es gilt allgemein: \(\binom {4}{2} = 6\) Wir haben also 6 mögliche Trefferbilder, wobei jedes einzelne mit der Wahrscheinlichkeit \( (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^2 \) auftritt. |
Insgesamt erhalten wir mit diesen Grundlagen die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer unter 4 Würfen eines Würfels:
\[P^4_{\frac{1}{6}}(X=2)=B \left (4; \frac{1}{6};2 \right)=\binom {4}{2} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^2 \cdot \left (\frac{5}{6}\right )^2 =11,57 \%\]