Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung sind auch für binomialverteilte Zufallsgrößen wichtige Kenngrößen, deren Berechnung wir anhand der folgenden Beispiele erläutern und exemplarisch folgendes Ergebnis bestätigen:
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Ergebnis: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) erhalten wir
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Dabei berechnen wir den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgröße X jeweils mit Hilfe der bekannten Formeln und leiten entsprechende Schlussfolgerungen ab.
| \(\small k \) | \(0\) | \(1\) |
| \(\small P(X=k)\) | \(q\) | \(p\) |
\(\mu = E(X)=0 \cdot q + 1 \cdot p = \color{red}{\textbf{1}} \cdot p \)
\(Var(X) = (0- \mu)^2 \cdot q + (1- \mu)^2 \cdot p =\)
\(\hspace{18mm} = p^2 \cdot (1-p) + (1-p)^2 \cdot p = \)
\(\hspace{18mm} = (1-p) \cdot ( p^2 + (1-p) \cdot p = \)
\(\hspace{18mm} = (1-p) \cdot ( p^2 + p-p^2) \cdot p = \color{red}{\textbf{1}} \cdot pq\)
| \(\small k \) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(\small P(X=k)\) | \(q^2\) | \(2pq\) | \(p^2\) |
\(\mu = E(X)=0 \cdot q^2 + 1 \cdot 2pq + 2 \cdot p^2
= 2p \cdot (q+p)= \color{red}{\textbf{2}} \cdot p \)
\(Var(X) = (0- \mu)^2 \cdot q^2 + (1- \mu)^2 \cdot 2pq +(2- \mu)^2 \cdot p^2 =\)
\(\hspace{18mm} = \mu^2 \cdot q ^2 + (1-2 \mu + \mu^2) \cdot 2pq+(4-4 \mu + \mu^2) \cdot p^2 = \)
\(\hspace{18mm} = \color{red}{\mu^2 \cdot q^2} +2pq-4pq \cdot \mu +\color{red}{2pq \cdot \mu^2}+4p^2-4p^2 \cdot \mu+\color{red}{\mu^2 \cdot p^2}=\)
\(\hspace{18mm} = \color{red}{\mu^2 \cdot q^2}+\color{red}{2pq \cdot \mu^2} +\color{red}{\mu^2 \cdot p^2}+2pq-4pq \cdot \mu +4p^2-4p^2 \cdot \mu=\)
\(\hspace{18mm} = \color{red}{\mu^2 \cdot ( q^2}+\color{red}{2pq} +\color{red}{ p^2)}+2pq-4pq \cdot \mu +4p^2-4p^2 \cdot \mu=\)
\(\hspace{18mm} = \color{red}{\mu^2 \cdot ( q+p)^2}+2pq-4pq \cdot \mu +4p^2-4p^2 \cdot \mu=\) mit \(\color{red}{q+p=1}\)
\(\hspace{18mm} = \color{red}{\mu^2 \cdot 1}+2pq-4pq \cdot \mu +4p^2-4p^2 \cdot \mu=\) mit \(\color{red}{\mu=2p}\)
\(\hspace{18mm} = 4p^2 +2pq-4pq \cdot 2p +4p^2-4p^2 \cdot 2p=\)
\(\hspace{18mm}=8p^2+2pq-\color{red}{8p^2} \cdot q-\color{red}{8p^2} \cdot p \)
\(\hspace{18mm}=8p^2+2pq-\color{red}{8p^2} \cdot (q+p) \) mit \(\color{red}{q+p=1}\)
\(\hspace{18mm}=8p^2+2pq-\color{red}{8p^2}= \color{red}{\textbf{2}} \cdot pq\)
| \(\small k \) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(\small P(X=k) \) | \(q^3\) | \(3pq^2\) | \(3p^2q\) | \(p^3\) |
\( E(X)=0 \cdot q^3 + 1 \cdot 3pq^2+2 \cdot 3p^2q+3 \cdot p^3 = \)
\(\hspace{14mm} = 3pq^2 +6p^2q+3p^3=\)
\(\hspace{14mm} = 3p \cdot (q^2 +2pq+p^2)=\)
\(\hspace{14mm} = 3p \cdot (q+p)^2=\color{red}{\textbf{3}} \cdot p \)
\(Var(X)=(0-3p)^2 \cdot q^3+(1-3p)^2 \cdot 3pq^2 +(2-3p)^2 \cdot 3p^2q +(3-3p)^2 \cdot p^3 =\)
\(\hspace{14mm}\) ... diese Summe kann umgeformt werden zu ....
\( \hspace{14mm} = \color{red}{\textbf{3}} \cdot pq\)
8.1 Bernoulli-Experiment