Bild_Oben

8.1 Bernoulli - Experiment

Jedes Zufallsexperiment, bei dem genau zwei mögliche Versuchsausgänge (Ereignisse) interessieren bzw. betrachtet werden, wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet.

In der Praxis werden alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in zwei Kategorien (Ereignisse) eingeteilt, auf deren Basis wir jedes Ergebnis des Experiments mit folgenden Fragen bewerten können:

  • Habe ich als Ergebnis einen "Treffer" oder eine "Niete"?
  • Hatte ich "Erfolg" oder "Nicht-Erfolg" bei der Durchführung des Experiments?
  • Liefert mein Zufallsexperiment einen Treffer: ja / nein oder 0 / 1  oder  true / false ...

 

Die Ergebnisse eines Bernoulli-Experiments können stets als Ja- / Nein - Fragen beantwortet werden.

 

Definition

Alle Ja- bzw. Nein-Fragen werden oft auch mit "Treffer" und "Niete" bzw. "Erfolg" und "Nichterfolg" beschrieben. Treffer bzw. Niete werden auch häufig mit 1 bzw. 0 symbolisiert.

  

Definition:
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen (interessanten) Ereignissen (Treffer oder Niete) wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet.
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird mit \(\color{red}{\textbf{p}}\) bezeichnet.
  • Als Wahrscheinlichkeit für eine Niete ergibt sich dann automatisch \(\color{red}{\textbf{q = 1 - p}}\).
In der Praxis legen wir durch unsere Betrachtungsweise eines Zufallsexperiments oft zwei interessante Versuchsausgänge als Ereignisse fest, wie das Beispiel des Würfelwurfes mit der Kategorisierung aller Ergebnisse in \(6\) und \(\overline{6}\) zeigt.

 

Beispiele von Bernoulli-Experimenten

  • Werfen eines Laplace-Würfels, z.B.  mit Unterscheidung in \(6\) und \(\overline{6}\)
    \(\Rightarrow P("6")=p=\frac{1}{6}\)
    \(\Rightarrow P("6 \space fällt \space nicht")=P(\overline {"6"})=q=1-p=\frac{5}{6}\)
     
  • Werfen einer Laplace-Münze, z.B. mit Zahl als Treffer und Kopf als Niete.
    \(\Rightarrow P("Zahl")=p=\frac{1}{2}\)
    \(\Rightarrow P("Kopf")=q=1-p=\frac{1}{2}\)
     
  • Drehen eines Glücksrades mit vier gleichgroßen Sektoren. Der Sektor mit der Nummer 1 wäre z.B. der Treffer und die Sektoren 2, 3 und 4 wären Nieten.
    Die beiden möglichen Ergebnisse könnten dann lauten:  \(1\) und \(\overline{1}\)
    \(\Rightarrow P("1")=p=\frac{1}{4}\)
    \(\Rightarrow P(\overline {"1"})=q=1-p=\frac{3}{4}\)
     
  • Ziehen aus einer Urne, die sieben schwarze und drei rote Kugeln enthält mit  \(ROT\) und \(\overline{ROT}\)
    \(\Rightarrow P("ROT")=p=\frac{3}{10}\)
    \(\Rightarrow P(\overline {"ROT"})=q=1-p=\frac{7}{10}\)