8.1 Bernoulli - Experiment
Jedes Zufallsexperiment, bei dem genau zwei mögliche Versuchsausgänge
(Ereignisse)
interessieren bzw. betrachtet werden,
wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet.
In der Praxis werden alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in
zwei Kategorien
(Ereignisse) eingeteilt, auf deren Basis wir jedes Ergebnis des
Experiments mit folgenden Fragen bewerten können:
- Habe ich als Ergebnis einen "Treffer" oder eine "Niete"?
- Hatte ich "Erfolg" oder "Nicht-Erfolg"
bei der Durchführung des Experiments?
- Liefert mein Zufallsexperiment einen Treffer: ja / nein oder 0 / 1
oder true / false ...
Die Ergebnisse eines Bernoulli-Experiments können stets als Ja- /
Nein - Fragen beantwortet werden.
Definition
Alle Ja- bzw. Nein-Fragen werden oft auch mit "Treffer" und "Niete" bzw.
"Erfolg" und "Nichterfolg" beschrieben. Treffer bzw. Niete werden
auch häufig mit 1 bzw. 0 symbolisiert.
Definition: Ein Zufallsexperiment mit genau
zwei möglichen (interessanten) Ereignissen
(Treffer oder Niete) wird als Bernoulli-Experiment
bezeichnet.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen
Treffer wird mit \(\color{red}{\textbf{p}}\)
bezeichnet.
- Als Wahrscheinlichkeit für eine
Niete ergibt sich dann
automatisch \(\color{red}{\textbf{q = 1 - p}}\).
In der Praxis legen wir durch unsere
Betrachtungsweise eines Zufallsexperiments oft zwei interessante
Versuchsausgänge als Ereignisse fest, wie das Beispiel des
Würfelwurfes mit der Kategorisierung aller Ergebnisse in \(6\) und \(\overline{6}\)
zeigt. |
Beispiele von
Bernoulli-Experimenten
- Werfen eines Laplace-Würfels, z.B. mit Unterscheidung in \(6\)
und \(\overline{6}\)
\(\Rightarrow
P("6")=p=\frac{1}{6}\)
\(\Rightarrow P("6 \space fällt \space nicht")=P(\overline
{"6"})=q=1-p=\frac{5}{6}\)
- Werfen einer Laplace-Münze, z.B. mit Zahl als
Treffer und Kopf als Niete.
\(\Rightarrow P("Zahl")=p=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow
P("Kopf")=q=1-p=\frac{1}{2}\)
- Drehen eines Glücksrades mit vier gleichgroßen Sektoren. Der Sektor mit der
Nummer 1 wäre z.B. der Treffer und die
Sektoren 2, 3 und 4 wären Nieten.
Die beiden möglichen Ergebnisse könnten dann lauten: \(1\)
und \(\overline{1}\)
\(\Rightarrow
P("1")=p=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P(\overline {"1"})=q=1-p=\frac{3}{4}\)
- Ziehen aus einer Urne, die sieben schwarze und drei rote Kugeln enthält
mit \(ROT\) und \(\overline{ROT}\)
\(\Rightarrow P("ROT")=p=\frac{3}{10}\)
\(\Rightarrow P(\overline
{"ROT"})=q=1-p=\frac{7}{10}\)