Bild_Oben

8.4 Binomialverteilung

Das typische von Aufgabenstellung des Typs Bernoulli-Kette ist, dass man sich nicht mehr für die Stelle interessiert, an der ein Treffer eintritt, sondern, dass man nach der Anzahl \(X\) der Treffer fragt, die bei n Experimenten eintreten können.

 

Anzahl der Treffer als Zufallsgröße

Im stochastischen Modell betrachtet man also die Anzahl der Treffer einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Parameter p als Zufallsgröße X und ordnet jedem Wert der Zufallsgröße, wie gewohnt, die jeweilige Wahrscheinlichkeit in Form der Binomialverteilung zu.

 

Definition Binomialverteilung
Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach \(B(n;p) \) wenn

  • die Zufallsgröße \(X\) die Werte \(0;1;2; ...; n\) annehmen kann
  • und für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) gilt:

\(P^n_p(X=k)=B(n;p;k)= \binom {n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

\( \hspace{55mm}= \binom {n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \)

 

Binomialverteilung im Beispiel

Beim fünffachen Würfelwurf gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der möglichen Treffer als 0; 1; 2; 3; 4 oder 5 Treffer an.

Wir können mit Hilfe der Bernoulli-Formel jeweils die Wahrscheinlichkeit für genau 0; 1; 2; ...; 5 Treffer berechnen. Insgesamt ergeben dies Werte die Binomialverteilung für diese spezielle Bernoulli-Kette.

 

Im Folgenden ist die Binomialverteilung \(B(5; \frac{1}{6})\) in Tabellenform, als Stabdiagramm und als kumulative Verteilungsfunktion dargestellt!

 

Tabellenform

k 0 1 2 3 4 5
\(P^5_{\frac{1}{6}}(X=k)=B\left (5;\frac{1}{6};k \right)\) 0,4019 0,4019 0,1608 0,0322 0,0032 0,0001

 

Stabdiagramm 
Kumulative Verteilgungsfunktion