Das typische von Aufgabenstellung des Typs Bernoulli-Kette ist, dass man sich nicht mehr für die Stelle interessiert, an der ein Treffer eintritt, sondern, dass man nach der Anzahl \(X\) der Treffer fragt, die bei n Experimenten eintreten können.
Im stochastischen Modell betrachtet man also die Anzahl der Treffer einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Parameter p als Zufallsgröße X und ordnet jedem Wert der Zufallsgröße, wie gewohnt, die jeweilige Wahrscheinlichkeit in Form der Binomialverteilung zu.
Definition Binomialverteilung
\(P^n_p(X=k)=B(n;p;k)= \binom {n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \) \( \hspace{55mm}= \binom {n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \) |
Beim fünffachen Würfelwurf gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der möglichen Treffer als 0; 1; 2; 3; 4 oder 5 Treffer an.
Wir können mit Hilfe der Bernoulli-Formel jeweils die Wahrscheinlichkeit für genau 0; 1; 2; ...; 5 Treffer berechnen. Insgesamt ergeben dies Werte die Binomialverteilung für diese spezielle Bernoulli-Kette.
Im Folgenden ist die Binomialverteilung \(B(5; \frac{1}{6})\) in Tabellenform, als Stabdiagramm und als kumulative Verteilungsfunktion dargestellt!
Tabellenform
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
\(P^5_{\frac{1}{6}}(X=k)=B\left (5;\frac{1}{6};k \right)\) | 0,4019 | 0,4019 | 0,1608 | 0,0322 | 0,0032 | 0,0001 |
Stabdiagramm |
Kumulative Verteilgungsfunktion |
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