4. Kombinatorik und Laplace - Experimente

Bei zahlreiche Experimenten nehmen wir zurecht an, dass die einzelnen Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

Bei einem gewöhnlichen Würfel gehen wir stets davon aus, dass die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6} \) gewürfelt werden.

 

Definition: Laplace-Experiment und Laplace-Wahrscheinlichkeit Kann für das stochastische Modell eines Zufallsexperiments ein Ergebnisraum \(\small \Omega\) so gewählt werden, dass alle Ergebnisse \(\omega_i\) die gleiche Wahrscheinlichkeit \(p\) haben, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit \(\small P(A)\) eines Ereignisses \(\small A\): \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{Anzahl \space der \space für \space E \space güngstigen \space Versuchsausgänge}{Anzahl \space aller \space möglichem \space Versuchsausgänge }\)   Experimente, bei denen alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nennt man Laplace-Experimente. \(\small P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\)   heißt Laplace-Wahrscheinlichkeit.

 

Beispiel 1

Würfelwurf mit zwei Würfeln

• \( \small \Omega = \{ (1|1), (1|2), (1|3), ..., (2|1), (2|2), ..., (6|6) \}\)  
• \( \small A=\) "Augenzahl ist mind. 9" \(\small =\{(4|5), (4|6), (5|4), (5|5), (5|6), (6|3), (6|4), (6|5), (6|6) \} \)
   
• Wir erhalten: \(| \small \Omega| = 36\)  und  \(\small |A| = 9\)  mit \(\small P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{36}= \frac{1}{4}=25 \% \)
   

Beispiel 2

Ziehen einer Karte aus einem Rommé - Spiel
- 52 Karten mit den Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo
- Kartenwerte: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König und As 

• \( \small A=\) "gezogene Karte ist eine Herzkarte oder ein König"
  \(\small A=\{\small "13-Herzkarten", Kreuz-König, Pik-König, Karo-König \} \)
   
• Wir erhalten: \(| \small \Omega| = 52\)  und  \(\small |A| = 16\)  mit \(\small P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{16}{52}= \frac{4}{13} \approx 30,77 \% \)
   

 

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