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4.5 Anzahl der k - Mengen aus einer n-Menge

Aus den \(n\) zur Verfügung stehenden Elementen werden \(k\) Elemente mit \(k<n\) gleichzeitig gezogen. Dies bedeutet, dass im Gegensatz zur k-Permutation, die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt.

 

Beispiel:
In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, beschriftet mit den Zahlen 1 bis 5. Aus der Urne werden nacheinander 3 Kugel ohne Zurücklegen gezogen.

Als mögliche Ergebnisse können wir z.B. folgende 3-Permutationen festhalten:

  • 123, 132, 213, 231, 312, 321
  • 124, 142, 214, 241, 412, 421
  • 234, 243, 324, 343, 423, 432
  • ...
  • 542, 524, 425, 452, 254, 245
  • 543, 534, 453, 435, 345, 354

Insgesamt können wir 10 solcher Zeilen mit 3-Tupel aus drei gleichen Zahlen bilden.

Im Sinne der Mengenlehre ist das Ergebnis einer Zeile gleichwertig, d.h. jeweils \(3!\) Anordnungen!

Jede Zeile liefert also genau ein Ergebnis des gleichzeitigen Ziehens von drei Kugeln!

 

Schritt 1:
Mit Beachtung der Reihenfolge gibt es \(\frac{5!}{(5-3)!} = 60 \) Möglichkeiten.

Schritt 2:
Im Sinne der Mengenlehre sind jeweils \(3!\) Anordnungen gleich

Ziehen wir die Kugeln gleichzeitig dann können wir die Reihenfolge der Kugeln nicht unterscheiden, d.h. jeweils \(3!\) der oben erzeugten 3-Permutationen führen zum gleichen Ergebnis, da wir beim gleichzeitigen Ziehen die Reihenfolge nicht beachten können.

 

Schritt 3:
Dividieren wir die Anzahl der 3-Permutationen durch 3!, dann erhalten wir als Ergebnis die sogenannte 3-Menge, also die Anzahl der 3-Tupel ohne Beachtung der Reihenfolge.

\(\frac{5!}{(5-3)! \cdot k!} = 10 \)

\(\hspace{10mm} \Rightarrow\) Jede Zeile entspricht einem Ergebnis des gleichzeitigen Ziehens!

 

 

Typ: Ziehen von k Elementen ohne Beachtung Reihenfolge und ohne Zurücklegen (k<n)

  • Gleichzeitiges Ziehen von k Elementen aus einer n-Menge
  • Reihenfolge unwichtig und Wiederholungen nicht möglich
  • Aus einer Urne mit n Elementen werden  k Elemente ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.
  • oder: Aus einer Urne mit n Elementen werden gleichzeitig k Elemente gezogen.
     

Allgemein:

  • Für die Auswahl von k - Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung aus einer Menge von n unterschiedlichen Objekten ( \(k \leq n\)) gibt es

    \(\hspace{10mm} \small |\Omega|= \normalsize \frac {n!}{(n-k)! \cdot k! } = \binom{n}{k} \)
     
    verschiedene Möglichkeiten der Anordnung.
     
  • Diese werden als k-Mengen bezeichnet.

 

Beispiel

Aus einer Urne mit 49 Kugeln, die von 1 bis 49 durchnummeriert sind, werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Wie viele Anordnungen gibt es?

\(\binom{49}{6}=\frac{49!}{(49-6)! \cdot 6!} = 13983816 \)