Das Grundproblem bei der Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten besteht stets darin, die Anzahlen \(|A|\) und \(|\Omega|\) zu bestimmen. Bei großen Anzahlen ist das Abzählen nicht mehr mit vertretbarem Aufwand zu schaffen. Wir werden daher folgende Hilfsmittel zum Bestimmen dieser Anzahlen entwickeln, die alle auf dem sogenannten Zählprinzip aufbauen:
Die Ergebnisse eines k-stufigen Zufallsexperiments lassen sich in sogenannten k-Tupeln \( (a_1|a_2|...|a_k) \) oder kurz \( a_1a_2...a_k \) aufschreiben. Jede Stelle \(a_i\) beschreibt dabei das Ergebnis des Zufallsexperiments an der i-ten Stufe.
Ein bereits bekanntes Verfahren zum Bestimmen der Mächtigkeit eines Ergebnisraumes \(\small \Omega \) ist das Zählprinzip, dass sich auch auf die Berechnung der möglichen Anzahl an k-Tupeln anwenden lässt.
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Zählprinzip Gibt es bei einem k-Tupel \(n_1\) Möglichkeiten für die Besetzung der
ersten Stelle \(a_1\),
dann enthält die Menge insgesamt \(n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot ... \cdot
n_k\) mögliche k-Tupel. |
Am WGS gibt es 12 Unterstufenklassen, 9 Mittelstufenklassen und zwei Oberstufenklassen. Zur SMV-Sitzung soll aus jeder Stufe ein Klassensprecher erscheinen.
Nach dem Zählprinzip gibt es \( \small 12 \cdot 9 \cdot 2 = 216 \) mögliche Kombinationen für ein solches 3-Tupel.
An einem Pferderennen nehmen 17 Pferde teil. Für eine Wette sollen die ersten drei Plätze richtig abgegeben werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Abgabe dieser Wette?
Nach dem Zählprinzip gibt es \( \small 17 \cdot 16 \cdot 15 = 4080 \) mögliche Besetzungen für dieses 3-Tupel / die ersten drei Plätze.
Fünf Würfel werden geworfen und die Ergebnisse notiert. Wie viele 5-Tupel müssen aufgeschrieben werden?
Nach dem Zählprinzip gibt es \( \small 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6=6^5 = 7776 \) mögliche 5-Tupel.
4.1 Hilfsmittel