In den vorhergehenden Kapiteln haben wir uns bereits mehrfach mit der
Bestimmung von Funktionstermen auf Basis von gegebenen Eigenschaften lineare
Funktionen und quadratischer Funktionen beschäftigt.
Mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen können wir unkompliziert
Funktionsterme bestimmen, wenn wir ausreichende Informationen über die
Eigenschaften der geforderten Funktion haben.
Funktionsterme linearer Funktionen
Zum Bestimmen der allgemeinen Geradengleichung \(y=m \cdot x +t\)
müssen wir die Werte für die Variablen \(m\) und
\(t\) bestimmen.
Wir benötigen dazu zwei
Informationen über den Verlauf der Funktion, d.h. die
Angabe von -> zwei Punkten
-> oder Punkt und Steigung -> oder Punkt und
y-Abschnitt
und erhalten dadurch im Extremfall ein lineares Gleichungssystem mit
zwei Gleichungen und
zwei Unbekannten.
Die Lösung dieses Gleichungsystems liefert die Werte für die
Variablen \(m\) und
\(t\).
Funktionsterm der
allgemeinen Parabelgleichung
Zum Bestimmen der allgemeinen Parabelgleichung \(y=ax^2+bx+c\)
müssen wir die Werte für die Variablen \(a\), \(b\) und
\(c\) bestimmen.
Wir benötigen daher drei Informationen über den Verlauf der Funktion, d.h. die
Angabe von drei Punkten.
und erhalten dadurch ein lineares Gleichungssystem mit
drei Gleichungen und
drei Unbekannten.
Die Lösung dieses Gleichungsystems liefert Werte für die Variablen \(a\), \(b\) und
\(c\).
Funktionsterm aus
der Scheitelpunktform bestimmen
Sind von einer Parabel der Scheitelpunkt \(S (x_s | y_s) \) und einer
weiterer Punkt \(P (x | y)\) der Funktion gegeben, dann können wir den
Funktionsterm \(f(x)\) mit der Scheitelpunktform \((f(x)=a (x-x_s)^2+y_s\)
bestimmen.
Wir setzten dazu die Koordinaten \(x_s\) und
\(y_s\) des Scheitels
und den Punkt \(P\) ein und lösen die Gleichung nach \(a\) auf.
Grundsätzlich ein Verfahren, das wir zum Bestimmen von
Geradengleichungen bereits kennengelernt haben.
Nullstellenform
einer Funktion
Im Folgenden werden wir kennenlernen, dass wir den Funktionsterm einer
quadratischen Funktion bestimmen können, wenn wir zwei Nullstellen und einen
weitereren Punkt der Funktion kennen. Dieses Lösungsverfahren führt uns zur
sogenannten Nullstellenform einer
quadratischen Funktion.
Dazu folgende Überlegungen:
Kennen wir zwei Nullstellen einer Funktion \(f\) und den zugehörigen
Streckungsfaktor \(a\), dann können wir daraus die allgemeine Form des
Funktionsterms ermitteln.
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann null, wenn einer der
beiden Faktoren null ist.
Diejenigen x-Werte für die unsere Funktion den y-Wert null liefert,
sind unsere Nullstellen der Funktion. Der Faktor vor unserem \(x^2\) ist
unser Streckungsfaktor.
Unsere Funktion \(f\) hat also die Nullstellen \(x_1=4\) und
\(x_2=-1\) sowie den Streckungsfaktor 2.
Funktionsterm mit
Nullstellenform bestimmen
Kennen wir von einer Funktion \(f\) die zwei Nullstellen \(x_1=5\) und
\(x_2=-3\) und einen weiteren Punkt \(P(2 | 30) \), der auch auf dem Graphen
der Funktion liegt, dann können wir jetzt den zugehörigen Funktionsterm der
quadratischen Funktion ermitteln:
Nachdem \(x_1=5\) und \(x_2=-3\) Nullstellen der Funktion sind,
muss der Funktionsterm folgende Form aufweisen: \(f(x)=a \cdot
(x-5) \cdot (x+3)\)
Die beiden Faktoren \((x-5) \) und \( (x+3) \) stellen sicher, dass
die "Nullstellenbedingungen" \(f(5)=0\) und \(f(-3)=0\) gelten.
Setzen wir die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung ein,
dann lässt sich der Streckungsfaktor \(a\) bestimmen:
\(f(2)=30 \hspace{5mm} \Rightarrow f(2)= a \cdot
(2-5) \cdot (2+3)=30 \hspace{5mm} \Rightarrow a =-2\)
1. Einstieg