9.4  Lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten

 

Hefteintrag

 

9.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten

 

Mathematische Aufgabenstellungen oder die Anwendung der Mathematik in der Praxis erfordern häufig die Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehreren Unbekannten.

Sollen wir beispielsweise die Gleichung einer Parabel bestimmen, deren Graph durch drei gegebene Punkte verläuft, dann können wir dieses Problem über ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen!

 

Video zur Einführung

 

Beispiel:
Bestimme die allgemeine Gleichung einer Parabel durch die
Punkte \(A(1 | -3) \), \(B(4 | -4,5) \) und \(C( 7 | 3) \).

 

Folgerung aus der Bestimmung von Geradengleichungen

 
Zum Bestimmen der allgemeinen Gleichung einer Parabel \(y=ax^2+bx+c\)

• müssen wir die Werte für die Variablen \(a\), \(b\) und \(c\) bestimmen.
• Wir benötigen also drei Gleichungen, die wir durch Einsetzen der jeweiligen Punktkoordinaten in die allgemeine Gleichung erhalten.

 

\(A(1 | -3) \) einsetzen:	\(a \cdot 1^2+b \cdot 1 + c =-3 \hspace{7mm}\Rightarrow\)	(1)   \(a+b+ c =-3\)
\(B(4 | -4,5) \) einsetzen:	\(a \cdot 4^2+b \cdot 4 + c =-4,5 \hspace{2mm} \Rightarrow\)	(2)   \(16a+4b+ c =-4,5\)
\(C(7 | 3) \) einsetzen:	\(a \cdot 7^2+b \cdot 7 + c =3 \hspace{11mm} \Rightarrow\)	(3)   \(49a+7b+ c =3\)

Wir erhalten die Gleichungen (1), (2) und (3), die wir mit unseren bekannten drei Lösungsverfahren lösen können, d.h. wir bestimmen die Werte der Variablen a, b und c!

  

Lösung des LGS in drei Schritten

 

• Schritt 1 :
  Wir beseitigen durch Anwendung eines unsere Lösungsverfahren aus zwei Gleichungspaaren jeweils die selbe Variable.
• Schritt 2:
  Wir lösen das entstandene Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und erhalten dadurch bereits die Werte für zwei Variablen.
• Schritt 3:
  Diese zwei Variablen setzen wir in eine der Gleichungen (1), (2) oder (3) und erhalten die dritte Variable.
• Funktionsgleichung angeben.

 

Ende Hefteintrag

 

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Übungsaufgaben

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