Rechnungen mit Bruchtermen können mit geschickter Anwendung der binomischen Formeln häufig vereinfacht werden.
Ein Bruchterm ist äußerst unangenehm, wenn im Nenner eine oder mehrere Wurzeln enthalten sind. Diese Wurzel(n) kann man mit geschicktem Erweitern beseitigen!
Nenner mit einer Wurzel:
| \( \frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6 \cdot \color{red}{ \sqrt{2}}}{\sqrt{2}\cdot \color{red}{ \sqrt{2}}}=\frac{6 \sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\) |
\( \hspace{6cm}\Rightarrow \) Erweitere mit der Wurzel im Nenner!
Nenner mit einer Summe aus Wurzeln:
| \( \frac{6}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}=\frac{6 \cdot (\color{red}{\sqrt{11}+\sqrt{5}})}{(\sqrt{11}-\sqrt{5})\cdot (\color{red}{\sqrt{11}+\sqrt{5}})} = \frac{6 \cdot (\sqrt{11}+\sqrt{5})}{11-5}= \frac{6 \cdot (\sqrt{11}+\sqrt{5})}{6}=\sqrt{11}+\sqrt{5}\) |
\( \hspace{6cm}\Rightarrow \) Erweitere zur 3. binomischen Formel im Nenner!
| Diese Umformungen, die zur Beseitigung von Wurzeln im Nenner führen, werden als Rationalmachen des Nenners bezeichnet. |
Durch die Anwendung der binomischen Formeln lassen sich manche Bruchterme so umformen, dass sie gekürzt werden können. Dazu muss Zähler und/oder Nenner mit den binomischen Formeln faktorisiert werden.
Beispiel 1:
| \( \frac{3x^2-6x+3}{x-1}\) | \(=\frac{3 \cdot (x^2-2x+1)}{x-1}\) | |
| \(=\frac{3 \cdot (x^2-2x \cdot 1+1^2)}{x-1}\) | 2. bin. Formel erkennen | |
| \(=\frac{3 \cdot (x-1)^2}{(x-1)}=3 \cdot (x-1)\) | Anwenden und kürzen! |
Beispiel 2:
| \( \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) | \(=\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) | Rechenregeln für Wurzeln erzeugen die 3. bin. Formel |
| \(=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\) | Bin. Formal anwenden! | |
| \(=\sqrt{x}-\sqrt{y}\) | Kürzen! |
Aufgabe:
Du weißt, dass \(\sqrt{5} \approx 2,2 \) und \(\sqrt{15} \approx
3,9 \) .
Berechne nachfolgende Brüche näherungsweise mit diesen Werten!
a) \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)
b) \( \frac{3}{\sqrt{15}-\sqrt{5}} \)
1. Formeln rückwärts