Ereignisse

1.4 Ereignisse

Eine beliebige Teilmenge der Ergebnisraumes \(\Omega\) eines Zufallsexperiments wird in der Stochastik als Ereignis bezeichnet.

Ereignisse werden in der Regel mit großen Buchstaben \(\small A; B; ...; E; E_1; E_2\) etc. bezeichnet.

Betrachten wir das Zufallsexperiment "Einmaliges Werfen eines Würfels" mit seinem Ergebnisraum \( \small \Omega\).

Darstellungsformen für Ereignisse

Ereignisse können als Mengen angegeben werden, bei denen die Elemente in geschweifte Klammern geschrieben werden. Ist eine Interpretation des jeweiligen Ereignisses erwünscht, dann wird als beschreibender Text formuliert!

A: "die Augenzahl ist größer als 3" \( \Rightarrow \small A = \{4; 5; 6 \} \)

B: "die Augenzahl ist prim" \( \Rightarrow \small B = \{2; 3; 5 \} \)

C: "die Augenzahl ist gerade" \( \Rightarrow \small C = \{2; 4; 6 \} \)

Man sagt:
"Ein Ereignis tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments
ein Element dieses Ereignisses ist!"

Wird eine 3 gewürfelt dann tritt nur das Ereignis B ein; im Falle einer 4 treten die Ereignisse A und C ein.

Spezielle Ereignisse

Jeder Ergebnisraum hat mindestens zwei Ereignisse:

Die leere Menge \( \small \emptyset = \{ \space \} \):
Diese Menge \( \small A= \emptyset = \{ \space \} \) kann nie als Ergebnis eines Zufallsexperiments auftreten, da sie kein Element enthält und heißt daher das unmögliche Ereignis.
Der gesamte Ergebnisraum \( \small \Omega \):
Die Menge \( \small B= \Omega \) tritt stets als Ergebnis des Zufallsexperiments ein, da sie alle Ergebnisse enthält und heißt daher das sichere Ereignis.

Definition

Eine beliebige Teilmenge E eines Ergebnisraumes \(\Omega\) heißt Ereignis. Das Ereignis tritt genau dann ein, wenn das Zufallsexperiment ein Ergebnis \(\omega\) liefert, das im Ereignis E liegt.

Schreibweise: \( \small \omega \in E \)

Jedes Zufallsexperiment hat mindestens zwei Ereignisse und zwar die beiden Extremfälle:

Das unmögliche Ereignis \( \small \emptyset = \{ \space \} \)
Das sichere Ereignis \( \small \Omega \)