Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments werden normalerweise als Ergebnis \(\omega_i\) (kleiner griechischer Buchstabe omega) des Experiments bezeichnet.
Die gesamte Menge aller möglichen Ergebnisse werden im Ergebnisraum \(\Omega\) (großer griechischer Buchstabe Omega) zusammengefasst. Dabei wird jedem möglichen Ausgang des Experiments genau ein Element in \(\Omega\) zugeordnet.
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Fassen wir alle möglichen Ergebnisse \(\small \omega_1\), \(\small \omega_2\), ..., \(\small \omega_n\) mit \(\small n \in N\) zu einer Menge von Ergebnissen zusammen, dann erhalten wir denn Ergebnisraum: \(\Omega = \{ \small \omega_1, \omega_2, ..., \omega_n \} \) Jedem Versuchsausgang wird dabei genau ein Ergebnis \( \small \omega_i\) zugeordnet. Die Anzahl der Elemente von \(\Omega\) bezeichnet man als Mächtigkeit vom \(\Omega\) Schreibweise: \( \bigl | \Omega \bigr | \) |
| Experimente | Versuch | Ergebnisse und Ergebnisraum |
| Werfen eines Würfels | einmaliger Wurf | Ergebnisse: \(\small \omega_1=1, \space
\omega_2=2, ..., \omega_6=6 \) Ergebnisraum: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6 \} \) Mächtigkeit: \( \bigl | \Omega \bigr | = 6\) |
| Werfen einer Münze | dreimaliger Wurf | Ergebnisse: \(\small \omega_1=KKK, \space
\omega_2=KKZ, ..., \omega_6=ZZZ \) Ergebnisraum: \(\Omega = \small \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ,ZZZ \} \) Mächtigkeit: \( \bigl | \Omega \bigr | = 8\) |
Je nach Betrachtungweise des Zufallsexperiments kann der Ergebnisraum vergröbert werden. Bei einer Vergröberung des Ergebnisraumes erhalten wir weniger Informationen über den tatsächlichen Ausgang des Zufallsexperiments, wie nachfolgende Beispiele verdeutlichen.
Dabei wird
| Experiment | Ergebnisraum | Vergröberung von \(\Omega\) |
| dreimaliger Münzwurf | \(\Omega =
\small \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, \) \( \hspace{15mm} \small ZZK, ZKZ, KZZ,ZZZ \} \) |
Reihenfolge ist
unwichtig, es
interessiert nur die Darstellung der Anzahl von K bzw. Z: \(\Omega_1 = \small \{KKK, ZZK,KZZ,ZZZ \} \) \( \hspace{7mm}=\small \{ 3K, 2K+1Z, 1K+2Z, 3Z \} \) Mächtigkeit: \( \bigl | \Omega_1 \bigr | = 4\) |
| Werfen eines Würfels | \(\Omega = \small \{1,2,3,4,5,6 \} \) | \(\Omega_1 = \small \{gerade
Zahl, ungerade Zahl \} \) oder \(\Omega_2 = \small \{sechs, nichtsechs \} \) \(\Omega_3 = \small \{Zahl<4, Zahl>4 \} \) Mächtigkeit jeweils: \( \bigl | \Omega_i \bigr | = 2\) mit \(\small i \in \{1; 2; 3 \} \) |
Neben systematischem Abzählen kann der Ergebnisraum \(\Omega\) eines Zufallsexperiments mit Hilfe eines Baumdiagramms bestimmt werden.
Beispiel:
Bestimme den Ergebnisraum für einen
dreimaligen Münzwurf mit Berücksichtigung der Reihenfolgen und gib die
Mächtigkeit des Ergebnisraumes an.
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Wir erhalten die Menge aller Ergebnisse, indem wir beginnend bei der Wurzel von links nach rechts alle möglichen Pfade des Baumes durchlaufen und die "Werte" aller Knoten des jeweiligen Pfades als (n-) Tupel aufschreiben. |
\(\hspace{10mm} \small \Rightarrow \space \Omega =
\{KKK,KKZ,KZK,KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK; ZZZ \} \)
\(\hspace{10mm} \small \Rightarrow
\space \bigl |\Omega \bigr | =8 \)
Beispiel:
Bestimme die Ergebnisräume für den
zweimaligen Würfelwurf falls alle Wurfergebnisse bzw. die Augensummen
interessant sind.
| Darstellung als Mengendiagramm: |
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Darstellung klassisch als Ergebnismenge:
1.1 Ergebnisräume