Der Ergebnisraum zusammengesetzter Zufallsexperimente kann unter Umständen recht umfangreich werden. Durch die Zerlegung solcher Experimente in einfache Teilexperimente kann man diese einerseits sehr gut strukturieren und andererseits auch den Umfang aller Ergebnisse schnell berechnen.
Jeder Pfad durch den Baum ergibt am Ende ein spezielles Ergebnis. Daher muss man letztendlich die Menge aller Pfade berechnen, um eine Aussage über die Mächtigkeit des zugrundeliegenden Ergebnisraumes zu erhalten.
Bei der Wette "3 aus 15" beim Pferderennen muss man von den 15 startenden Pferden die ersten drei nach der Platzierung ihres Einlaufes ins Ziel ankreuzen.
Auf dem vorliegenden Wettschein wurde das Ergebnis \( \small \omega=(6;3;11) \) getippt.
Die Frage dabei ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Wettschein auszufüllen?
Dazu zerlegen wir das mehrstufige Experiment in Teilexperimente und ermitteln so zur Beantwortung dieser Fragen die Anzahl aller verschiedenen Pfade durch den gesamten Baum.
Der Baum ist zwar nur unvollständig gezeichnet. Wir erkennen jedoch schnell, dass wir in der ersten Stufe (1. Platz) alle 15 Pferde wählen können, in der zweiten Stufe (2. Platz) nur noch 14 Pferde und in der dritten Stufe (3. Platz) noch 13 Pferde, da Mehrfachnennungen (Wiederholungen) nicht möglich sind.
Insgesamt erhalten wir also \(15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730 \) Möglichkeiten, nach denen der Wettschein ausgefüllt werden kann!
Allgemein können wir also festhalten:
|
Hat ein Zufallsexperiment \(n\) Stufen und die erste Stufe hat \(k_1\) Verzweigungen, dann gibt es insgesamt \(k_1 \cdot k_2 \cdot k_3 \cdot ... \cdot k_n\) mögliche Pfade / Ausgänge für das Zufallsexperiment. Der Ergebnisraum des Zufallsexperiments hat damit die Mächtigkeit \(\bigl |\Omega \bigr |= k_1 \cdot k_2 \cdot k_3 \cdot ... \cdot k_n\) |
1.1 Ergebnisräume