Formal ist die Integralrechnung die Unkehrung der Differentiation
(Ableitung) von Funktionen. Die Berechnung des bestimmten Integrals einer
dient der Bestimmung von Flächen bzw. der Anlyse von Flächenstücken, die
zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse in einem bestimmten
Intervall liegen.
Prinzipiell liefert die Integralrechnung Antworten auf folgende Fragen:
Wie sieht eine Funktion F aus, deren Ableitung
eine vorgegebene Funktion f ist?
Das
unbestimmte Integral \( \int f(x)dx=F(x)+C \)
mit \(\small (C\in IR) \)
bestimmt die Menge aller Funktionen,
die diese Forderung erfüllen.
Es handelt sich dabei um die Menge
aller Stammfunktionen
der Funktion f.
Mit einer beliebigen Stammfunktionen F kann
aufgrund des Hauptsatzes der
Differential- und Integralrechnung jedes beliebige bestimmtes
Integral berechnet werden:
\begin{align} \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_a^b \end{align}
Wenn im Zähler der Integrandenfunktion \(f(x)\) die Ableitung des Nenners steht, dann können wir mithilfe der logarithmischen Integration eine Stammfunktion \(F(x)\) der Integrandenfunktion \(f(x)\) bestimmen!
Sei also eine Funktion \(f(x)\) gegeben mit \(\large f(x)= \frac {g'(x)} {g(x)}\) dann erhalten wir als Stammfunktion: \[F(x)=ln|(g(x)|+C\]
| Grundlegendes Beispiel: | Beispiel mit Anpassung im Zähler: |
Wenn bei gebrochen rationalen Funktionen im Nenner keine Summe steht, führt die Zerlegung in Einzelbrüche, also die Rückführung des Integrals auf Basisfunktionen, schnell zum Ziel, wie folgende Beispiele zur Berechnung der jeweiligen bestimmten Integrale zeigen:
\( \hspace{ 2em}\int\limits_{a}^{b} \frac {x^2-4} {x^2}dx= \int\limits_{a}^{b} ( \frac {x^2} {x^2}-\frac {4} {x^2})dx =\int\limits_{a}^{b} ( 1-\frac {4} {x^2})dx = \left [x+\frac {4}{x}\right]_a^b \)
\( \hspace{ 2em}\int\limits_{a}^{b} \frac {4x^4+x^2-3x+4}
{2x^3}dx=
\int\limits_{a}^{b} (2x+ \frac {1}{2} \cdot \frac {1}
{x}-\frac {3} {2} x^{-2} + 2 x^{-3})dx =
\left [x^2+ \frac {1}
{2}ln|x|+\frac {3}{2}x^{-1}-x^{-2}\right]_a^b
\)
Die Anwendung der Potenzregel der Integration und die Anwendung der Kettenregel (innere Ableitung) bildet die Grundlage dieser Integrationsmethode
\( \hspace{ 2em}\int \frac {1} {(x+5)^2}dx = \int (x+5)^{-2} dx =\frac {(x+5)^{-1}}{-1 } = -\frac {1}{x+5} +C\)
\( \hspace{ 2em}\int \frac {1} {(3x+5)^2}dx = \int (3x+5)^{-2} dx =\frac {(3x+5)^{-1}}{-1 \cdot 3} = -\frac {1}{3 \cdot (3x+5)}+C\)
In beiden Beispielen muss zur Konstruktion der Stammfunktion zuerst die Potenzregel angewendet werden. D.h. den negativen Exponenten der Klammer um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten dividieren.
\[Potenzregel: \hspace{1em} \int (...)^{n}dx = \frac {(...)^{n+1}}{n+1} \hspace{3em} mit \hspace{0,4em} n \in \mathbb Q \setminus \{-1\}\]
Besitzt die Variable x der linearen Summe im Nenner einen Koeffizienten ungleich 1 (Im zweiten Beispiel die Zahl 3!), dann muss zusätzlich durch diesen dividiert werden. Die Ableitung der so berechneten Stammfunktion macht diese Division schnell plausibel.
Häufig ist eine Stammfunktion \(F\) einer Funktion \(f\) gegeben und es muss ein bestimmtes Integral berechnet werden. In diesen Fällen muss erst der Nachweis der Stammfunktion erbracht werden, bevor das Integral mit dem HDI berechnet werden darf!
Beispiel:| Bezeichnung | ||