7.1 Gebrochen-rationale Funktionen

Im folgenden Kapitel werden Funktionen betrachtet, die sich als Quotient zweier Polynomfunktonen schreiben lassen:

\[ z.B.: \hspace{3mm} f(x)=\frac{x+2}{x-2}  \]

 

Definition:
Funktionen der Form \(f:x \mapsto f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \) mit \(x \in D_f\), deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome  \(z(x)\) und \(n(x)\) ist, heißt gebrochen-rationale Funktion.

  • \(z(x)\) bezeichnet dabei das Zählerpolynom
  • und \(n(x)\) das Nennerpolynom.

 

Besonderheiten bei der Kurvendiskussion

 

Nullstellen der Nennerpolynome
Aus den Gesetzen der Bruchrechnung wissen wir, dass im Nenner nie die Null stehen darf.

Für die gebrochen-rationalen Funktionen bedeutet das,  dass die Nennerpolynome \(n(x)\) niemals null werden dürfen. D.h. die Nullstellen des Nenners müssen aus der jeweiligen Definitionsmenge ausgeschlossen und als sogenannte Definitionslücken berücksichtigt werden.

\(z.B.: \hspace{3mm} f(x)=\frac{x+2}{x-2} \hspace{10mm} \Rightarrow \hspace{10mm}\) \( x=2\)   darf nicht eingesetzt werden. 

 

Polstelle und senkrechte Asymptote
Diese Definitionslücken bewirken bei den von uns behandelten Funktionen, dass die Funktionswerte in der Nähe der Definitionslücke gegen unendlich laufen. Sie werden auch als Unendlichkeitsstellen oder Polstellen bezeichnet.

An der Polstelle existiert dann eine senkrechte Gerade, an die sich der Funktionsgraph der gebrochen-rationalen Funktion beliebig nahe annähert. Diese Gerade heißt: senkrechte Asymptote des Graphen Polstelle

Analog zur Untersuchung der Vielfachheit von Nullstellen einer Funktion werden wir feststellen, dass auch die Vielfachheit einer Polstelle eine fundmentale Bedeutung für den Verlauf einer Funktion in der Umgebung der  Polstelle hat. Dabei müssen wir zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel unterscheiden!

 

Waagrechte und schiefe Asymptoten
 Für das Zählerpolynom und das Nennerpolynom kann man den jeweiligen Grad angeben. Ein Vergleich der beiden Grade lässt schnell Rückschlüsse über Art weiterer Asymptoten zu.

 

Überblick über mögliche Asymptoten

Grad z < Grad n Grad z = Grad n Grad z = Grad n+1 Grad z = Grad n+2
Grad z < Grad n Grad z = Grad n Grad z > Grad n Grad z > Grad z+1
x-Achse als
waagrechte Asymptote		 Parallele zur x-Achse
als waagrechte Asymptote		 schiefe Asymptote beliebige Kurve
als Asymptote
   

Die Gleichung der jeweiligen Asymptote lässt sich mittels Polynomdivision bestimmen.

 

 

Arbeitsblätter, Übungen und Lösungen zu den Stoffgebieten