7. Gebrochen-rationale Funktionen

Die Analyse gebrochen-rationaler Funktionen stellt eine wichtige Grundlage für ein breites Spektrum anwendungsorientierter Problemstellungen dar.

Éin Beispiel aus der Trainingspraxis:
Fährt ein Inline-Skater in der Ebene mit einer konstanten Geschwindigkeit v, mit der er innerhalb der
Zeit t eine Strecke s zurücklegt, dann gilt:

\[ \begin{aligned} t=\frac{s}{v} \end{aligned} \]

Die Analyse der Trainingsparameter ergab, dass dieser Inliner auf einem 10 km langem Bergaufstück stets 5 km/h langsamer unterwegs war, als in der Ebene!.

Damit ergibt sich folgender funktionaler Zusammenhang zwischen v [in km/h] und t [in h]:

\[ \begin{aligned} t(v)=\frac{10}{v-5} \end{aligned} \]

Und schon sind wir mitten in der Problematik einer gebrochen rationalen Funktion mit der Funktonsvariablen v.

Was würde sich für die benötigte Zeit für die 10 km lange Strecke ergeben, wenn der Inliner seine Geschwindigkeit beliebig steigern könnte???

 

Werkzeuge der Kurvendiskussion

Die systematische Analyse von Funktionen wird unter dem Begriff der Kurvendiskussion zusammengefasst. Für die gebrochen rationalen Funktionen müssen beispielsweise folgende Werkzeuge beherrscht werden:

  • Definitionsmenge festlegen
  • Verhalten des Graphen an der Definitionslücke ermitteln
  • Art der Definitionslücke erkennen
  • Verhalten des Graphen im Unendlichen angeben
  • Symmetrie bestimmen
  • Asymptoten angeben
  • Ableitung gebrochen rationaler Funktionen berechnen (Quotientenregel)
  • Steigungsverhalten (Monotoniebetrachtung) analysieren
  • Lage und Art der Extremstellen ermitteln
  • Wendepunkte berechnen (2. Ableitung)
  • Stammfunktionen bestätigen/bestimmen
  • Integrale berechnen

  • Tangeten an den Graphen anlegen (z.B. Wendetangente bestimmen)

 

Arbeitsblätter, Übungen und Lösungen zu den Stoffgebieten

Bezeichnung    
Gebrochen-rationale Funktionen auf Serlo