7.4 Unterschiedliche Polstellen

Liegt bei einer gebrochen rationanlen Funktion ein Pol bzw. eine Unendlichkeitsstelle vor, dann können wir diese in verschiedene Typen einteilen, was uns bei der Analyse von Funktionen die Arbeit sehr erleichtert. Basis dieser Überlegungen ist die Vielfachheit der Definitionslücken (also der Vielfachheit der Nullstellen des Nenners).

Wir können durch die daraus gewonnenen Zusammenhänge den Graphen von Funktionen schnell skizzieren!

Grundsätzlich wissen wir, dass jeder Graph einer gebrochen rationalen Funktion an einer Polstelle auch eine senkrechte Asymptote hat! Je nach Art der Definitionslücke hat der Graph an der Definitionslücke ein "sprunghaftes" Verhalten, oder auch nicht!

 

Verantwortlich dafür ist die Potenz, mit der ein Linearfaktor im Nenner vorkommt:

  • geradfache Potenz z.B.: (....)2; (....)4;...:    kein sprunghaftes Verhalten
  • ungeradfache Potenz z.B.: (....)1; (....)3;...: sprunghaftes Verhalten

 

Folgende Beispiel sollen diesen Zusammenhang, der auf alle Funktionen übertragbar ist verdeutlichen:

Hyperbel 1
  • Im Nenner haben wir den Term x 1
  • Man spricht von der einfachen Polstelle x=0

    Diese einfache Polstelle zeigt sich auch im charakteristischen Verlauf des Graphen.

  • bei linksseitiger Annähernung an x=0 werden die Fuktionswerte unendlich klein
  • bei rechtsseitiger Annäherung unendlich groß

  • Der Graph springt an der Definitionslücke von -∞ nach +∞
  • Es liegt eine Definitionslücke mit Vorzeichenwechsel (VZW) bzw. mit Sprung vor!
   
Hyperbel 2
  • Im Nenner haben wir den Term x2
  • Man spricht von der zweifachen Polstelle x=0

    Diese zweifache Polstelle zeigt sich auch im charakteristischen Verlauf des Graphen.

  • bei linksseitiger Annähernung an x=0 werden die Fuktionswerte unendlich groß
  • ebenso bei rechtsseitiger Annäherung

  • Es liegt eine Definitionslücke ohne Vorzeichenwechsel (VZW) bzw. ohne Sprung vor!
   
gebr. rat. Fkt
  • Im Nenner haben wir den Term (x-2)2
  • Man spricht von der zweifachen Polstelle x=2
  • bei linksseitiger Annähernung an x=0 werden die Fuktionswerte unendlich groß
  • bei rechtsseitiger Annäherung ebenfalls unendlich groß

  • Es liet eine Definitionslücke ohne Vorzeichenwechsel (VZW) bzw. ohne Sprung vor!
   
gebr. rat. Fkt
  • Im Nenner haben wir den Term (x-2)3
  • Man spricht von der dreifachen Polstelle x=2
  • bei linksseitiger Annähernung an x=0 werden die Funktionswerte unendlich klein
  • bei rechtsseitiger Annäherung unendlich groß

  • Der Graph springt an der Definitionslücke von -∞ nach +∞
  • Es liegt eine Definitionslücke mit Vorzeichenwechsel (VZW) bzw. mit Sprung vor!

Video zur Erläuterung:

Arbeitsblätter, Übungen und Lösungen zu den Stoffgebieten

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