7.7 Die Ableitung gebrochen rationaler Funktionen

Wenn wir von der Ableitung einer Funktion \(f\) sprechen, müssen wir zwei verschiedene Aspekte mit diesem Begriff verbinden:

• Man könnte die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) einer Funktion \(f(x)\) meinen
• oder die Ableitung, sprich die Steigung, einer Funktion \(f\) an einer bestimmten Stelle \(x_0\).

 

Zusammenhang dieser Betrachtungsweisen:
Besitzt eine beliebige Funktion \(f\) an Stellen ihrer Definitionsmenge eine Ableitung, dann wird damit eine neue Funktion \(f'\) festgelegt, die jeder dieser Stellen des Definitionsbereichs (alle möglichen x-Werte) eine eindeutige Steigung des Funktionsgraphen im entsprechenden Punkt zuordnet.

 

 

 

Das Geradenstück am Punkt P veranschaulicht die Steigung des Graphen im Punkt P. Wir erhalten für den dargestellten Fall den Wert -0,36.

Wird der Punkt auf dem Graphen verschoben, erhalten wir eine neue, eine für diesen Punkt eindeutige Steigung des Graphen. 

Die Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion \( f':x \mapsto f'(x) \) einer Funktion \(f\) ordnet jedem beliebigen x-Wert \(a \in D_f \) die Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(a\), also die Steigung des Graphen von \(f\) im Punkt \(P(a | f(a) \), zu.

 

Der Graph der Ableitungsfunktion

Ebenso wie der Graph der Funktion \(f \) kann auch der Graph der Funktion\( f'\) gezeichnet werden.
Der Graph der Funktion\( f'\) gibt dabei wesentliche Informationen über die Steigung des Funktionsgraphen von \(f\).

• Verläuft der Graph von \(f' \) über der x-Achse, so steigt der Graph von \(f \)
• Falls \(f' \) an der Stelle \(x_0 \) eine Nullstelle hat, hat der Graph von \(f \) die Steigung \(0 \)
• Verläuft der Graph von \(f' \) unter der x-Achse, so fällt der Graph von \(f \)

 

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Bezeichnung