7.8 Ableiten gebrochen rationaler Funktionen mit der Quotientenregel
Die Quotientenregel ist eine Ableitungsregel, mit der wir Funktionen ableiten können, die durch einen Quotienten von Funktionen beschrieben werden. D.h. unsere "Bruchfunktion", die wir ableiten müssen, hat sowohl im Zähler \(z(x)\) als auch im Nenner \(n(x) \) einen Term in Abhängigkeit einer Variablen, in der Regel \(x\).
Im Allgemeinen wollen wir also die Ableitung für folgende Funktionstypen unter Berücksichtigung der Definitionsmenge bestimmen: \[ f(x)= \frac {z(x)}{n(x)} \hspace{ 5em} \textrm{ z.B.: } \hspace{ 1em} f(x)= \frac {x^2} {2x+1} \]
Falls die Zählerfunktion \(z(x)\) und die Zählerfunktion \(n(x)\)d ifferenzierbar (ableitbar) sind, dann lässt sich die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) nach folgender Quotientenregel bestimmen.
\[ f'(x)= \frac {n(x) \cdot z'(x)-z(x) \cdot n'(x)}{(n(x))^2} =\frac {n(x) \cdot z'(x)-z(x) \cdot n'(x)}{n^2(x)} \]
Herleitung der Quotientenregel mit dem Differentialquotienten
Die Ableitungsfunkton ermitteln wir mit der Quotientenregel:
\[f'(x)=\frac {(2x+1) \cdot 2x-x^2 \cdot 2} {(2x+1)^2 }=\frac {4x^2+2x-2 x^2} {(2x+1)^2 }=\frac {2x^2+2x } {(2x+1)^2}\]
| Grundlegendes Beispiel | Beispiel mit Faktorisieren und Kürzen |
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