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2.2 Quadratische Funktionen

Der Term einer quadratischen Funktion wird als Polynom zweiten Grades bezeichnet und hat in der allgemeinen Form die Darstellung:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)  mit  \(a \neq 0 \)

Polynom zweiten Grades, da die höchste vorkommende Potenz von x im Funktionsterm die 2 ist. Der Term einer linearen Funktions ist folglich ein Polynom ersten Grades.

Die Forderung \(a \neq 0 \) bewirkt, dass im Term einer quadratischen Funktion sicher ein Faktor \(\neq 0 \) vor \(x^2\) steht und daher eine quadratische Funktion vorliegen muss!

 

Graph einer quadratischen Funktion

Der Graph einer quadratischen Funktion ist stets eine Parabel.

Für die Parameterwerte \(a=1\)  und  \(b=c=0 \)
erhalten wir den minimalen Funktionsterm   \(f(x)=x^2\)

einer quadratischen Funktion, die Normalparabel.		 Normalparabel
  Abb.: Normalparabel

 

Einfluss der Parameter

Aufgrund der unterschiedlichen Werte für die Parameter a, b und c können unterschiedliche Parabeln entstehen.

Mit Verfahren der Kurvendiskussion werden deren Lage im Koordinatensystem, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Lage des Scheitels bestimmt und die Graphen mit auf Basis der gesammelten Informationen gegebenenfalls gezeichnet. 		Parabeln
  Abb.: Beispiele von Graphen

 

Unterschiedliche Formen quadratischer Funktionen

Der Term quadratischer Funktion kann in folgenden Formen vorliegen:

  • allgemeine Form:   \(f(x)=ax^2+bx+c\)

  • Scheitelform:         \(f(x)=a \cdot (x-x_s)^2+y_s\)

  • Nullstellenform:        \(f(x)=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)

 

Jede Form bietet spezielle Vorteile bei der Analyse von quadratischen Funktionen. Sie können durch geeignete Umformungen für die vorliegende Aufgabenstellung in die jeweils günstigere Darstellung umgeformt werden!

  • Mit Hilfe der allgemeinen Form können unter Anwendung der Mitternachtsformel (Lösungsformel für quadratische Gleichungen) problemlos Nullstellen der Funktion oder Schnittpunkte mit anderen Funktionen bestimmt werden.
  • Aus der Scheitelpunktsform kann sowohl der Scheitel als auch der Streckungsfaktor der Funktion unmittelbar abgelesen werden und damit Aussagen für das Monotonieverhalten eines Graphen getroffen werden. Ebenso lässt sich der Graph der Funktion durch diese Informationen problemlos in ein Koordinatensystem einzeichnen.
  • Aus dem Graphen einer Funktion kann der Scheitel ausgelesen, der Streckungsfakor ermittelt und damit die Scheitelpunktsform angegeben werden.
  • Die Nullstellen können aus der Nullstellenform direkt abgelesen werden!

  

Video: Überblick über die unterschiedlichen Formen