2.3 Ganzrationale Funktionen

Alle Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden können, werden als ganzrationale Funktionen bezeichnet.

Lineare Funktionen und quadratische Funktionen sind Spezialfälle für ganzrationale Funktionen.

  

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Mathematische Definition:

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die sich in der folgenden Darstellung schreiben lässt:

\(f: IR \rightarrow IR \)

\(f: x \mapsto y=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2} + ... +a_2 x^2 + a_1 x + a \)

  

• Die Faktoren \(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_2, a_1, a_0 \) heißen Koeffizienten und sind reelle Zahlen.
• \(n\) ist eine natürliche Zahl mit \(a_n \neq 0 \)
• \(n\) ist die höchste vorkommende Potenz von x und heißt  Grad der rationalen Funktion f.
• Der Koeffizient \(a_n\) heißt Leitkoeffizient und \(a_0\) wird als Absolutglied oder additive Konstante bezeichnet.
   
• Eine ganzrationale Funktion wird auch als Polynomfunktion bezeichnet.

 

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Beispiele:

\(f(x)=-3x^5-2x^3+4x^2+3\)	Polynomfunktion vom Grad 5
\(g(x)=-2x^4-5x^3+8x^2+3x\)	Polynomfunktion vom Grad 4
\(h(x)=4x-8x^3-2 \)	Polynomfunktion vom Grad 3
\(k(x)=\frac{1}{2}x^2+5x-7\)	Polynomfunktion vom Grad 2
\(m(x)= -2.3x-3 \)	Polynomfunktion vom Grad 1

 

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Anmerkung:

• Die einzelnen Summanden sind nicht immer nach absteigender Potenz geordnet.
• Die höchste vorkommende Potenz bestimmt den Grad der Polynomfunktion.
• Kommen einzelne Potenzen von x in der Summe nicht vor, dann sind die zugehörigen Koeffizienten gleich null.

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