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2.3.1 Nullstellen und Linearfaktordarstellung

Die Bestimmung der Nullstellen, also den Schnittstellen des Graphen einer Funktion mit der x-Achse ist ein zentraler Baustein für die Analyse jeglicher Funktionen.

 

Löse dazu die Gleichung: \( \hspace{1.5cm} a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1} + ... +a_2 x^2 + a_1 x + a=0 \)

 

Die Nullstellen liefern einerseits wertvolle Informationen für den Verlauf des Funktionsgraphen und andererseits kann damit unmittelbar die Nullstellenform (Linearfaktordarstellung) der ganzrationalen Funktion angegeben werden.

 

Nullstellen und Nullstellenform

Analog zur Entwicklung der Nullstellenform bei den quadratischen Funktionen müssen auch bei ganzrationalen Funktionen alle Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit und analog zum Strekungsfaktor der Leitkoeffizient der Funktion berücksichtigt werden.

Die Vielfachheit der Nullstellen hat rein theoretisch keine Grenze mehr. Es sind also einfache, doppelte, dreifache,... Nullstellen möglich!
 

BEACHTE: 

  • Der Leitkoeffizient \(a\) muss als Faktor in der Nullstellenform enthalten sein.
     
  • Ein Polynom vom Grad n kann höchstens n Nullstellen aufweisen.
  • Für jede Nullstelle \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... gibt es
  • einen zugehörigen Linearfaktor \( (x-x_1)\), \((x-x_2)\), \((x-x_3)...\).
     
  • Für Polynomfunktionen vom  \(Grad>2\) können wir evtl. eine ganzzahlige Nullstelle
    durch "systematisches" Raten ermitteln:
Merke:
Hat eine ganzrationale Funktion nur ganzzahlige Koeffizienten, dann sind alle von Null verschiedenen ganzzahligen Nullstellen Teiler der additiven Konstanten.

 

Beispiel:   \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6 \) Grad 3 \( \Leftrightarrow \) max. drei Nullstellen

 

  • Für mögliche Nullstellen könnten also die Teiler \( \pm 1,  \pm 2,  \pm 3\) und \(  \pm 6 \) in Frage kommen.
     
  • Da \(f(1)=0\) muss die Nullstellenform den Linearfaktor \( (x-1)\) enthalten.
     
  • Die Nullstellenform muss also als Faktoren den Linearfaktor \( (x-1)\) und einen noch ungekannten Rest \(p(x) \) enthalten und kann in einer ersten faktorisierten Form geschrieben werden:

     \( \Rightarrow (x^3-6x^2+11x-6)=(x-1) \cdot p(x) \)

 

Nullstellenform mit Hilfe der Polynomdivision

Polynomdivision

Mit Hilfe der Mitternachtsformel bestimmen wir für das Polynom \(x^2-5x+6\) die beiden Nullstellen \(x_2=2\) und \( x_3=3\) und können damit die Linearfaktordarstellung der gegebenen Funktion f angeben:

 

 \( \hspace{1cm} \Rightarrow f(x)=x^3-6x^2+11x-6 = (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \)

 

Entwicklung des Graphen...

 ... unter Berücksichtigung der Ergebnisse:

  • Nullstellen: \(x_1=1, x_2=2, x_3=3\)
     
  • es sind jeweils einfache Nullstellen;
    d.h. der Graph muss an jeder Nullstelle die x-Achse schneiden.
     
  • \(S_y(0 | -6 )\) legt den Verlauf von \(G_f\) endgültig fest.
 Funktionsgraph

 

Aufgaben:

Bestimme alle Nullstellen der nachfolgenden Funktionen und skizziere den jeweiligen Graphen: 

a) \(\hspace{5mm} \small f(x)= x^3+10x^2+7x-18 \)
b) \(\hspace{5mm} \small g(x)= x^3+5x^2-22x-56 \)
c) \(\hspace{5mm} \small h(x)= 7x^2-22x+3x^3-8 \)
d) \(\hspace{5mm} \small k(x)= 2x^3+1,5x+4,8x^2-0,2 \)
e) \(\hspace{5mm} \small m(x)= 4+3x^2-12x+5x^3 \)

 

Lösungen

a) \( \small x_1=1 \hspace{5mm} x_2=-2 \hspace{5mm} x_3=-9\)
b) \( \small x_1=4 \hspace{5mm} x_2=-7 \hspace{5mm} x_3=-2\)
c) \( \small x_1=2 \hspace{5mm} x_2=-4 \hspace{5mm} x_3= -\frac{1}{3}\)
d) \( \small x_1=-2 \hspace{5mm} x_2=0,1 \hspace{5mm} x_3=-0,5\)
e) \( \small x_1=1 \hspace{5mm} x_2=-2 \hspace{5mm} x_3=0,4\)