2.3.2 Vielfachheit von Nullstellen

Der charakteristische Verlauf einer ganzrationalen Funktion in der Umgebung der x-Achse wird maßgeblich von der Vielfachheit ihrer jeweiligen Nullstelle bestimmt.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion

• schneidet die x-Achse bei ungerader Vielfachheit (einfach, dreifach, fünffach,...).
• berührt die x-Achse nur bei gerader Vielfachheit (zweifach, vierfach, sechsfach,...).

Je höher die Vielfachheit ist, desto flacher verläuft der Graph \(G_f\) am Schnitt- bzw. Berührpunkt mit der x-Achse.

 

 

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Zeichnen bzw. skizzieren von Funktionsgraphen

Aufgrund der Lage und Art der Nullstellen kann man sich schnell ein Bild des Graphen der Funktion in der Umgebung der x-Achse verschaffen. Die Berechnung eines oder mehrerer Punkte auf dem Graphen führt zur endgültigen Skizze oder bei einer ausreichenden Anzahl von zusätzlichen Punkten zur genauen Zeichnung.

  

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Aufgaben:
Berechne für die folgenden ganzrationalen Funktionen jeweils die Lage und Art der Nullstellen.

Fertige für die Graphen der Aufgaben eine ordentliche Skizze des Graphen der Funktion an.

 

a) \(f(x)=x^3-7x^2-2x+14 \)

Lösung - Aufgabe a)

 

b) \(g(x)=x^4-9x^2+20 \)

c) \(h(x)=x^4-2x^3+2x^2-2x+1 \)

d) \(f(x)=2x^5-8x^4-8x^3 \)

Fertige für den weiteren Graphen eine möglichst genaue Zeichnung an:
(Hinweis: Erstelle eine Wertetabelle zur Berechnung zusätzlicher Punkte!)

e) \( k(x)=x^4-5x^3+6x^2 \)

 

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Lösungen - Aufgaben b) - e)

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