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Neben den Nullstellen einer Funktion liefert das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs wertvolle Informationen über den Verlauf einer ganzrationalen Funktion.
Nachdem ganzrationale Funktionen die reellen Zahlen IR als maximalen Definitionsbereich aufweisen, muss für das Verhalten im Unendlichen der Verlauf des Funktionsgraphen in der Regel für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte untersucht werden.
Dazu bestimmt man, welche "y-Werte" der jeweiligen Funktionsterm ausgibt, wenn ganz große oder ganz kleine Zahlen eingesetzt werden.
| ...beliebig großer Zahlen | ...beliebig kleiner Zahlen |
| \[\lim\limits_{x\to + \infty} f(x)= ???\] | \[\lim \limits_{x\to - \infty} f(x)= ???\] |
Merke:
Für das
Verhalten im Unendlichen ist bei ganzrationalen Funktionen die höchste Potenz
von x mit dem Koeffizienten verantwortlich. Man setzt ihn diesen
Ausdruck immer größere Zahlen bzw. immer kleinere Zahlen ein und erhält das
Verhalten der ganzen Funktion im Unendlichen.
- ein anschaulicher Nachweis:
Beispiel: Polynomfunktion in der allgemeinen Form
| \(f(x)=-\frac{1}{2}x^5-17x^4+9x^2+512
\) Folgerungen: Für \(x \rightarrow +\infty\) gilt \(-\frac{1}{2}x^5 \rightarrow - \infty\): \(\Rightarrow \lim\limits_{x\to + \infty} f(x)= -\infty \) Für \(x \rightarrow -\infty\) gilt \(-\frac{1}{2}x^5 \rightarrow + \infty\): \(\Rightarrow \lim\limits_{x\to - \infty} f(x)= +\infty \) |
Für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte wächst der
Term \(-\frac{1}{2}x^5\)deutlich schneller als jeder andere Summand
der Funktion. "Die \(x^5\) ist der dominante Anteil der Funktion" und bestimmt daher für \(x \rightarrow -\infty\) und \(x \rightarrow +\infty\) das Verhalten der Funktion, d.h. er legt fest, ob die y-Werte jeweils gegen \(- \infty\) oder \(+ \infty \) streben. |
Beispiel: Polynomfunktion in Linearfaktordarstellung
Aufgaben:
Bestimme für die
folgenden Funktionen Lage und Art der Nullstellen, das Verhalten im
Unendlichen und fertige eine ordentliche Skizze der Funktionsgraphen an.
1. \(f(x)=x^3-4,5x^2+1,5x+2 \)
2. \(g(x)=-2x^5+6x^3 \)
3. \(h(x)= -0.5 \cdot (x+3)^2 (x-1)(x+1) \)
4. \(k(x)=2 \cdot (x+3)(x-1)^2(x+1) \)
5. \(m(x)= \frac{1}{3}(x+3)(x+1)^2(x-1) \)
1. Nullstellenform