2.2.1 Umwandeln der Funktionsterme

Je nach Aufgaben- und Problemstellung benötigt man entweder die allgemeine Funktionsgleichung oder die Scheitelform bzw. Scheitelpunktsform oder auch die Nullstellenform einer quadratischen Funktion (vgl. dazu Kapitel 1.2.1).

  

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Techniken zur jeweiligen Umformung

• Von der allgemeinen Parabelform zur Scheitelpunktsform:   Quadratische Ergänzung
• Von der Scheitelpunktsform zur allgemeinen Form:        Binomische Formel auflösen

In beiden Fällen müssen die neu entstandenen Terme so weit wie möglich zusammengefasst werden.

Der Streckungsfaktor hat \(a\) in beiden Formen den identischen Wert!

  

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Aufgaben:
Gib jeweils die Scheitelpunktsform und den Scheitel an.
Fertige eine exakte Zeichnung des Graphen an.

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Beispiel 1:  \( \hspace{1cm} f(x)= \frac{1}{4}x^2-x+4\) 

Lösung

\(f(x)= \frac{1}{4}x^2-x+4\) \(= \frac{1}{4} \cdot [x^2-4x]+4\)   \(= \frac{1}{4} \cdot [x^2-2 \cdot 2x+2^2-2^2]+4\)  \(= \frac{1}{4} \cdot [(x^2-2 \cdot 2x+2^2)-2^2]+4\)  \(= \frac{1}{4} \cdot [(x-2)^2-4]+4\)  \(= \frac{1}{4} \cdot (x-2)^2-1+4\) \(= \frac{1}{4} \cdot (x-2)^2+3\)

Faktor  \(\frac{1}{4}\) ausklammern Quadratische Ergänzung Binomische Formel markieren (Runde Klammer!) Binomische Formel umschreiben und eckige Klammer ausmultiplizieren! Zusammenfassen!  \( \Rightarrow S(2 | 3) \)

 

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Beispiel 2:  \( \hspace{1cm} f(x)= -\frac{1}{3}x^2-2x-1\) 

Lösung

\(f(x)= -\frac{1}{3}x^2-2x-1\) \(= -\frac{1}{3} \cdot [x^2+6x]-1\)   \(= -\frac{1}{3} \cdot [x^2+2 \cdot 3x+3^2-3^2]-1\)  \(= -\frac{1}{3} \cdot [(x^2+2 \cdot 3x+3^2)-3^2]-1\)  \(= -\frac{1}{3} \cdot [(x+3)^2-9]-1\)  \(= -\frac{1}{3} \cdot (x+3)^2+3-1\) \(= -\frac{1}{3} \cdot (x+3)^2+2\)

Faktor  \(-\frac{1}{3}\) ausklammern Quadratische Ergänzung Binomische Formel markieren (Runde Klammer!) Binomische Formel umschreiben und eckige Klammer ausmultiplizieren! Zusammenfassen!  \( \Rightarrow S(-3 | 2) \)

 

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