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Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind ein weiterer Baustein
für die Analyse
von Funktionen und Helfen bei der
anschaulichen Beschreibung des Funktionsverlaufs und der Darstellung im Lage im
Koordinatensystem.
Wir kennen zwei Arten von Achsenschnittpunkten:
a) Schnittpunkt mit der y-Achse: \(\hspace{13mm} x=0\)
Alle Punkte der y-Achse weisen den für die x-Koordinaten den Wert \(x=0 \) auf, also auch der Schnittpunkt Sy einer quadratischen Funktion mit der y-Achse.
Zur Berechnung von \(S_y\) muss also lediglich \(x=0\) in den Funktionsterm eingesetzt werden, d.h. es ist \(f(0)\) zu berechnen.
Beispiel 1: Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse: \( \hspace{0,5cm} f(x) = 2x^2-6x-20\)
b) Schnittpunkt(e) mit der x-Achse (Nullstellen): \(\hspace{13mm} f(x)=0\)
Die Nullstelle(n) einer beliebigen Funktion erhalten wir, indem wir den Funktionsterm gleich Null setzen.
Im Falle der quadratischen Funktionen erhalten über wir den allgemeinen Ansatz über die allgemeine Funktionsdarstellung:
\(f(x) = 0 \hspace{10mm} \Leftrightarrow \hspace{10mm}ax^2-bx+c=0 \)
Lösungsidee:
Quadratische Gleichungen dieser Form
werden stets mit der Lösungsformel für
quadratische Gleichungen gelöst, indem die entsprechenden
Zahlenwerte der Koeffizienten \(a, b \) und \(c\) der allgemeinen Form
in die "Mitternachtsformel" eingesetzt werden:
Mitternachtsformel: \(x_{1/2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
Als Ergebnis erhält man unmittelbar die Nullstelle(n) der quadratischen Funktion.
Beispiel 2: Bestimme die Nullstellen der Funktion: \( \hspace{0,5cm} f(x) = 2x^2-6x-20\)
Beschreibe den Verlauf der Funktion mit den Ergebnissen!
| \( \hspace{3cm} f(x) = 2x^2-6x-20=0\)
|
|
| \(x_{1/2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) | \(= \frac{+6 \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot 2 \cdot
(-20)}}{4} \) |
| Nullstellen: | \(= \frac{+6 \pm \sqrt{36+160}}{4} \) |
|
\(x_1=-2\) und \(x_2= 5 \Leftarrow \hspace{3cm} \) |
\(= \frac{+6 \pm \sqrt{196}}{4} =
\frac{+6 \pm 14}{4}\) |
Beschreibung der Funktion:
Der Graph der vorliegenden Funktion ist nach oben geöffnet und gegenüber der Normalparabel mit dem Faktor 2 gestreckt. Die y-Achse wird im Punkt \(S_y(0 | -20) \) geschnitten und ihre Schnittpunkte mit der x-Achse sind \(N_1(-2 | 0)\) und \(N_2(5 | 0)\).
1. Termumwandlung