2.2.5 Arten von Nullstellen

Für jede Funktion – nicht nur für quadratische - besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Verlauf eines Graphen und der Art der Nullstellen.

Aus den bisherigen Untersuchungen kennen wir Nullstellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet und solche, an denen der Graph die x-Achse nur

Nullstellen quadratischer Funktionen
Indem man die allgemeine Funktionsgleichung gleich null setzt erhalten wir mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen etwaige Nullstellen. 

\(f(x)=ax^2-bx+c =0 \hspace{1cm} \Leftrightarrow \hspace{1cm} x_{1/2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

 

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Anzahl und Art der Nullstellen 

Der Wert der sogenannten Diskriminante \(D=b^2-4ac\), dem Argument der Wurzel unserer Lösungsformel, gibt Ausschluss über Anzahl und Art der Nullstellen.
 

• \(D=b^2-4ac>0\):  Es gibt zwei Nullstellen  \(x_1=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}; x_2=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \)
  
  Es handelt sich um sogenannte einfache Nullstellen für die der Graph die x-Achse schneidet.
   
• \(D=b^2-4ac=0\):  Es gibt nur eine Nullstelle  \(x_{1/2}=\frac{-b - \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}  \)
   
  Es handelt sich um sogenannte doppelte Nullstelle für die der Graph die x-Achse berührt. Die Funktion hat den Scheitel \(S_y (\frac{-b}{2a} |0) \).
   

• \(D=b^2-4ac<0\): Es gibt keine Lösung, da das Argument der Wurzel negativ ist! 

 

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Nullstellen und Nullstellenform

Zur Entwicklung der Nullstellenform einer Funktion müssen alle Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit (einfach/doppelt) und der Streckungsfaktor der Funktion berücksichtigt werden!

Die Darstellung \[\hspace{3cm} f(x)=a \cdot (x-x_1)(x-x_2) \hspace{1cm}(a \neq 0) \]
einer quadratischen Funktion Nullstellenform bzw. Linearfaktordarstellung.

 

BEACHTE: 

• Für jede Nullstelle \(x_1\) und \(x_2\) gibt es
• einen zugehörigen Linearfaktor \( (x-x_1)\) und \((x-x_2)\).
• \(a\) ist der Streckungsfaktor der Funktion.

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