Auch für Gleichungen mit zwei Wurzeltermen führt geschicktes Potenzieren der Wurzelgleichung zu einer Gleichung, die anschließend nach bekanntem Muster mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst werden kann.
Es kann jedoch sein, dass erst zweimaliges Potenzieren (Quadrieren) zur gewünschten Umformung führt. Die jeweiligen Wurzelgleichungen lassen sich in zwei grundlegende Typen einteilen:
Beispiel 1:
| \( \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=0\) \( \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}\) |
| \(+ \sqrt{x-1}\) | \(\uparrow\) 2 |
Wurzelterme auf getrennte Seiten |
| \( (\sqrt{2x-5})^2=(\sqrt{x-1})^2\) | Beide Seiten quadrieren beseitigt die Wurzel | |
| \(2x-5 = x-1\) \(x=4\) |
| \(-x+5\) | Probe: \( \sqrt{8-5}- \sqrt{4-1}=0 \) \( \Rightarrow\) \(L= \{4\}\) |
Beispiel 2:
| \( \sqrt{x+2}=1+\sqrt{x-1}\) \( (\sqrt{x+2})^2=(1+\sqrt{x-1})^2\) |
| \(\uparrow\) 2 |
Auf jeder Seite ein Wurzelterm
Beide Seiten quadrieren!!! |
| \( x+2=1^2+2 \cdot 1\cdot \sqrt{x-1}+(x-1)\) \( x+2=1+2 \cdot \sqrt{x-1}+x-1\) \( 2=2 \cdot \sqrt{x-1}\) \( 1= \sqrt{x-1}\) \( 1= x-1\) \(2=x\) |
| \(-x\) | \(:2\) | \(\uparrow\) 2 | \(+1\) |
Beachte die Binomische Formel
rechts!!! Vereinfache die Gleichung! Quadriere nochmal! |
| Probe: \( \sqrt{2+2}=1+ \sqrt{2-1}\) \( \Rightarrow\) \(L= \{2\}\) |
Ergebnis:
| Übungsaufgaben von Cornelsen | Link | |
1. mit einem Wurzelterm