Grundsätzlich führt geschicktes Potenzieren der Wurzelgleichung zu einer Gleichung, die anschließend nach bekanntem Muster mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst werden kann.
| Potenzieren ist keine
Äquvalenzumformung: Das Potenzieren einer Gleichung kann manchmal falsche Lösungen erzeugen. Auch wenn diese Technik beim Lösen von Wurzelgleichungen hilfreich ist, stellt das Potenzieren von Gleichungen keine Äquivalenzumformung dar. \( \Rightarrow\) Wir müssen am Ende der Rechnung stets eine Probe machen! |
Beispiel 1:
| \( \sqrt{x-5}-9=2\) \( \sqrt{x-5}=11\) |
| \(+9\) |
Prinzip: Isoliere Wurzelterm
d.h.: Wurzelterme auf die eine Seite und Zahlen auf die andere Seite |
| \( (\sqrt{x-5})^2=11^2\) | | \(\uparrow\) 2 | Beide Seiten quadrieren beseitigt die Wurzel |
| \(x-5 = 121\) \(x=126\) |
| \(+5\) | Probe: \( \sqrt{126-5}-9= \sqrt{121}-9=11-9=2 \) \( \Rightarrow\) \(L= \{126\}\) |
Beispiel 2:
| \( \sqrt{x^2-9}+x=1\) \( \sqrt{x^2-9}=1-x\) |
| \(-x\) | Prinzip: Isoliere Wurzelterm |
| \( (\sqrt{x^2-9})^2=(1-x)^2\) \(x^2-9 =1^2-2x+x^2 \) |
| \(\uparrow\) 2 | \(-x^2\) |
Beide Seiten quadrieren beseitigt die Wurzel. Beachte die Binomische Formel rechts!!! Gleichung wie gewohnt lösen! |
| \(-9 = 1-2x\) \(-10 = -2x\) \(5=x\) Quadrieren führt offensichtlich zu einer falschen Lösung! |
| \(-1\) | \(: (-2)\) |
Probe: \( \sqrt{5^2-9}+5= \sqrt{16}+5=4+5 \neq 1 \) \( \Rightarrow\) \(L= \{\hspace{3mm}\}\) |
Ergebnis:
| Übungsaufgaben von Cornelsen | Link | |
1. mit einem Wurzelterm