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2.1 Die 2. und 3. binomische Formel

Analog zur 1. binomischen Formeln können wir zwei weitere Formeln zur Multiplikation von Binomen durch Ausmultiplizieren herleiten.

 

Herleitung weiterer binomischer Formeln

 

Die 2. binomische Formel vereinfacht die Berechnung des Terms:    \( ( \color{blue}{a} - \color{red}{b})^2\)

\( ( \color{blue}{a} - \color{red}{b})^2\)   \(=( \color{blue}{a} - \color{red}{b}) \cdot  ( \color{blue}{a} - \color{red}{b})\)
  \(=\color{blue}{a} \cdot  \color{blue}{a}+ \color{blue}{a} \cdot  \color{red}{(-b)}-\color{red}{b} \cdot  \color{blue}{a}+\color{red}{(-b)} \cdot \color{red}{(-b)}\)
  \(=\color{blue}{a^2}-2\color{blue}{a}\color{red}{b}+\color{red}{b^2} \)

 

 

Die 3. binomische Formel vereinfacht die Berechnung des Terms:    \( ( \color{blue}{a} + \color{red}{b}) \cdot ( \color{blue}{a} - \color{red}{b}) \)

\(( \color{blue}{a} + \color{red}{b}) \cdot  ( \color{blue}{a} - \color{red}{b})\) \(=\color{blue}{a} \cdot  \color{blue}{a}+ \color{blue}{a} \cdot  \color{red}{(-b)}+\color{red}{b} \cdot  \color{blue}{a}+\color{red}{b} \cdot \color{red}{(-b)}\)
  \(=\color{blue}{a^2}-\color{red}{b^2} \)

 

Die drei binomischen Formeln

 

Bei der Berechnung von Produkten aus Binomen gelten folgende drei binomische Formeln:

\( (a+b)^2=\) \(a^2+2ab+b^2 \) (1. binomische Formel)
\( (a-b)^2=\) \(a^2-2ab+b^2 \) (2.  binomische Formel)
\( (a+b) \cdot (a-b)=\) \(a^2-b^2 \) (3. binomische Formel)

 

 

Binomische Formeln durch Flächenvergleich

Auch die zweite und dritte binomische Formel lassen sich durch einen entsprechenden Flächenvergleich begründen.

 2. binomische Formel 3. binomische Formel

Binomische Formeln

 

Beispiele

Schreibe den Term jeweils ohne Klammer:

a)   \( (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \)

b)   \( (b+3)^2=b^2+6b+9\)

c)   \( (\sqrt{7}-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{3}) = 7 - 3 = 4 \)

 

Faktorisiere den Term so weit wie möglich:

a)   \(9x^2-30x+25 = (3x)^2-2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = (3x-5)^2 \)

b)   \(9x^2-16y^2 = (3x)^2-(4y)^2=(3x-4y) \cdot (3x+4y) \)

 


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