Mit der Beziehung \(a^2 + b^2 =c^2\) zwischen den Seiten \(a\), \(b\) und \(c\) eines Dreiecks \(ABC\) kann auch geprüft werden, ob ein vorliegendes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird der Satz des Pythagoras umgekehrt betrachtet:
| Wenn für ein Dreieck \(ABC\) mit den Seiten \(a\), \(b\) und \(c\) die Beziehung \(a^2 + b^2 =c^2\) gilt, dann ist das Dreieck \(ABC\) ein rechtwinkliges Dreieck! |
Falls man für ein gegebenes Dreieck prüfen muss, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, muss also die Beziehung \(a^2 + b^2 =c^2\) durch Einsetzen der Seitenlängen geprüft werden.
| Beachte: Bei der Überprüfung muss für die Hypotenuse stets die längste der drei angegebenen Seiten verwendet werden. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. |
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Prüfe jeweils, ob rechtwinklige Dreiecke gegeben sind!
Beispiel 1: Gegeben ist das Dreieck ABC mit \(a=40cm\), \(b=32cm\) und \(c=24cm\).
Lösung:
| \(a^2+b^2=c^2\) | \( \Rightarrow\) Die längste
Seite ist \(a=40cm\) ! \( \Rightarrow\) Setze \(a\) für die Hypotenuse ein. |
| \(32^2+24^2=40^2\) \(1024+576 = 1600\) |
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| \(1600=1600\) | Linke Seite = Rechte Seite! |
Ergebnis:
Die
Beziehung des Satzes des Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\) gilt für das gegebenen
Dreieck.
Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck vor!
Beispiel 2: Gegeben ist das Dreieck ABC mit\(c=5,1m\),
\(b=7,2m\) und \(b=4,5m\).
Lösung:
| \(a^2+b^2=c^2\) | \( \Rightarrow\) Die längste
Seite ist \(b=7,2m\) ! \( \Rightarrow\) Setze \(b\) für die Hypotenuse ein. |
| \(5,1^2+4,5^2=7,2^2\) \(26,01+20,25 =51,84 \) |
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| \(46,26 \neq 51,84\) | Linke Seite \( \neq \) Rechte Seite! |
Ergebnis:
Die
Beziehung des Satzes des Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\) gilt für das gegebenen
Dreieck nicht.
Es liegt also ein
kein rechtwinkliges Dreieck vor!
5.1 Satz des Pythagoras