Wir sprechen von einem Alternativtest, wenn wir uns mit Hilfe eines Testverfahrens zwischen zwei möglichen Alternativen für etwaige Hypothesen \( \small H_0\) und \(\small H_1\) entscheiden müssen. \( \small H_1 \) wird auch als Gegenhypothese bezeichnet.
In einem solchen Fall sprechen wir von einem Alternativtest.
Eine Maschinenbaufirma bekommt eine große Menge (z.B. 10000 Stück) an Schraubenmuttern geliefert. Der Zulieferer verspricht eine Lieferung der Qualität A. D.h. nur \(\small 15 \%\) der Muttern halten eine vorgegebenen Genauigkeit nicht ein und sind für die Firma Ausschuss. Diese Behauptung möchte die Firma überprüfen, da sie vermutet, dass der Ausschussanteil tatsächlich bei \(\small 40 \%\) liegt, d.h. es wurde Qualität B geliefert.
Zur Auswahl stehen genau die zwei Alternativen \( \small 15 \%\) und \( \small 40 \%\) für den Ausschussanteil.
Festlegen von Hypothese und Gegenhypothese:
| Hypothese: | \(\small H_0: p_0=0,15 \%\) | Lieferung hat \(\small 15 \%\) Ausschuss |
| Gegenhypothese: | \(\small H_1: p_1=0,40 \%\) | Lieferung hat \(\small 40 \%\) Ausschuss |
Nachdem beide Hypothesen festgelegt wurden, muss das Testverfahren definiert werden. Dazu muss zunächst eine geeignete Stichprobe (Länge der Stichprobe) gewählt werden, d.h. wie viele Elemente aus der Gesamtmenge untersucht werden.
Stichprobenlänge
Aus jeder Schachtel wird eine bestimmte Anzahl an Muttern entnommen und genau überprüft. Diese zufällig entnommenen Muttern stellen nun unsere Stichprobe dar. Wir entnehmen der Schachtel zum Beispiel 10 Muttern, dann haben wir eine Stichprobe der Länge 10.
Wir müssen nun noch festlegen, wann wir aus aufgrund des Ergebnisses der Überprüfung der Muttern aus der Stichprobe für die Hypothese \(\small H_0\) oder die Gegenhypothese \( \small H_1 \) entscheiden.
Formulierung der Entscheidungsregel:
Wenn nun die Anzahl Z an Ausschussstücken sehr gering ist, sagen wir höchstens 2, dann werden wir uns für die Hypothese \(\small H_0\) entscheiden, andernfalls für die Gegenhypothese \( \small H_1\) .
Auf Basis dieser Überlegungen können wir die Entscheidungsregel übersichtlich formulieren:
| \(\small A_0=\{0, 1, 2 \}\) | ist der Annahmebereich von \( \small H_0\) |
| \(\small A_1=\{3, 4, 5, ..., 10 \}\) | ist der Annahmebereich von \( \small H_1\) |
Das Ziehen der Muttern aus der Lieferung ist bekannterweise vom Zufall abhängig, damit auch die Anzahl Z der gezogenen Ausschussstücke in der Stichprobe und in der Folge selbstverständlich auch unsere Festlegung der Qualitätsstufe. Diese Festlegung kann richtig oder falsch sein.
Analyse der möglichen Entscheidungen
Grundsätzlich
sind vier Fälle der Entscheidung möglich, die man übersichtlich in einer
Tabelle zusammenfassen kann:
| Realität | Entscheidung aufgrund der Stichprobe | |
| für \(H_0\) mit \(A_0=\{0, 1, 2\}\) | für \(H_1\) mit \(A_1=\{3, 4, 5, ...,10\}\) | |
| \(H_0:p_0=0,15\) | Richtige Entscheidung | Falsche Entscheidung |
| \(H_1:p_1=0,4\) | Falsche Entscheidung | Richtige Entscheidung |
Wir müssen uns im Klaren sein, dass wir aufgrund des Zufalls für die Elemente der Stichprobe fehlerhafte Entscheidungen treffen können.
Evtl. zusätzliche Unterlagen, Links, Arbeitsblätter, Übungsblätter mit Lösungen
9.1 Die Hypothese