Erwartungswert einer Zufallsgröße

7.1 Der Erwartungswert einer Zufallsgröße

Die wichtigste Kenngröße einer Zufallsgröße ist der Erwartungswert E(X) = µ, den wir in unserem Fall nur für sogenannte diskrete Zufallsgrößen berechnen müssen.

Den Erwartungswert einer Zufallsgröße \(\small X\) mit den Werten \(\small x_i \) und den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten \( P(X=x_i)\) erhalten wir mit:

\(\hspace{10mm} \mu = \small E(X)= x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)\)
Der Erwartungswert gibt dabei an, um welchen Wert sich das arithmetische Mittel der Ergebnisse einer Zufallsgröße X\ bei einer sehr großen Anzahl an Versuchen des zugrundeliegenden Zufallsexperiments stabilisiert!
D.h. der Erwartungswert ermöglicht eine Prognose über das arithmetische Mittel einer Zufallsgröße bei unendlich vielen Versuchswerten einer Zufallsgröße.

Erwartungswert bei "Chuck-a-luck"

Bei Glücksspielen wie "Chuck-a-ck ist es interessant, wie ein Spieler das Spiel auf lange Sicht bewertet, d.h. welchen Gewinn oder Verlust man auf Dauer zu erwarten hat.

Im Folgenden werden wir diesen mittleren Gewinn bzw. Verlust mit Hilfe der Verteilung der Zufallsgröße ermitteln.

\( \small x_i \)	-1	1	2	3
\(\small P(X=x_i) \)	\(\frac{125}{216}\)	\(\frac{75}{216}\)	\(\frac{15}{216}\)	\(\frac{1}{216}\)

Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Glücksspiel "chuck-a-luck" können wir ableiten, dass der Spieler

in \(\frac{125}{216}\) aller Spiele \(-1 €\),
in \(\frac{75}{216}\) aller Spiele \(1 €\),
in \(\frac{15}{216}\) aller Spiele \(2 €\) und
in \(\frac{1}{216}\) aller Spiele \(3 €\) "gewinnt".

Bei einer sehr großen Anzahl \(n\) von Spielen kann der Spieler somit folgenden Gewinn erwarten:

\( G_n=\frac{125}{216} \cdot n \cdot (-1)€+\frac{75}{216} \cdot n \cdot 1€+\frac{15}{216} \cdot n \cdot 2€ + \frac{1}{216} \cdot n \cdot 3€ \)

Daraus können wir den durchschnittlichen "Gewinn" pro Spiel ermitteln, indem wir das Ergebnis G durch die Anzahl \(n\) der Spiele teilen:

\( G_{pro \space Spiel}=\frac{1}{n} \cdot (\frac{125}{216} \cdot n \cdot (-1)€+\frac{75}{216} \cdot n \cdot 1€+\frac{15}{216} \cdot n \cdot 2€ + \frac{1}{216} \cdot n \cdot 3€ )\)

\( \hspace{20mm} =\frac{125}{216} \cdot (-1)€ + \frac{75}{216} \cdot 1€ + \frac{15}{216} \cdot 2€ + \frac{1}{216} \cdot 3€ =-\frac{17}{216} \space € \approx - 0,08 \space €\)

Ergebnis:
Der mittlere Gewinn eines Glücksspiels lässt sich berechnen, indem man jeweils den Wert der Zufallsgröße mit ihrer zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und aus diesen Produkten die Summe bilden! Bei "Chuck-a-luck" verliert der Spieler im Schnitt etwas 8 ct pro Spiel.

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert \(E(X)\) einet Zufallsgröße \(X\) ist im Allgemeinen der Wert, den man im Durchschnitt erwarten kann, wenn eine Zufallsgröße X sehr oft ausgewertet wird, d.h. das zugrundeliegende Zufallsexperiment oft wiederholt wird.

Definition: Erwartungswert
HaHat eine Zufallsgröße \( \small X\) die möglichen Werte \( \small x_1; x_2; ...; x_n \) mit ihren zugeörigen Wahrscheinlichkeiten \( \small P(X=x_1); P(X=x_2); ...; P(X=x_n) \) dann heißt die reelle Zahl \( \small E(X)= \mu \) mit

\(\hspace{10mm} \mu = \small E(X)= x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)\)

Erwartungswert der Zufallsgröße X.

Summenschreibweise: \(\hspace{10mm} \mu = E(X)= \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)\)

Erwartungswert beim Urnenspiel

\( \small x_i \)	0	1	2	3	4
\(\small P(X=x_i) \)	\(24,01 \%\)	\(41,16 \%\)	\(26,46 \%\)	\(7,56 \%\)	\(0,81 \%\)

\(\hspace{10mm} E(X)= \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)\)

\(\small \hspace{25mm} = 0 \cdot 24,01 \% + 1 \cdot 41,16 \% + 2 \cdot 26,46 \% + 3 \cdot 7,56 \% + 4 \cdot 0,81 \% =1,2\)

Bei langer Versuchsdauer können im Schitt 1,2 rote Kugeln erwartet werden.