Pierre Laplace (1749 – 1827) beschränkte sich bei der Entwicklung seiner Wahrscheinlichkeitstheorie auf Experimente, bei denen man annehmen kann, dass jedes mögliche Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt.
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Definition: Laplace-Experiment und Laplace-Wahrscheinlichkeit Ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Element aus \(\small \Omega\) gleich, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit \(\small P(A)\) eines Ereignisses \(\small A\): \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{Anzahl \space der \space für \space E \space güngstigen \space Versuchsausgänge}{Anzahl \space aller \space möglichem \space Versuchsausgänge }\)
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Diese Form der Berechnung Wahrscheinlichkeiten genügt außerdem dem Axiomsystem von Kolmogorow. Somit kann auch unter diesen Annahmen ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum \(\small (P;\Omega)\) konstruiert werden und folgende Regeln festgehalten werden.
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Aus dem Zusammenhang \(\small \Omega = A \cup \overline{A} \) folgt: \(\hspace{10mm} \Rightarrow P(\Omega)=1= P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A})\) \(\hspace{10mm} \Rightarrow P(A) + P(\overline{A})=1 \) \(\hspace{10mm} \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - P(A) \) |
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Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses \(\small A= \varnothing\) ist gleich null: \(\hspace{10mm} P(\varnothing)=0\) |
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Ist das Ereignis \(\small A\) eine Teilmenge vom Ereingis \(\small B\) dann gilt das Monotoniegesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung: \(\hspace{10mm}\) Falls: \( A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)\) |
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Für beliebige Ereignisse \(\small A\) und \(\small B\) gilt stets: \(\hspace{10mm} P(A \cup B)=P(A)+P(B)- P(A) \cap P(B)\) |
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Kann ein Ereignis \(\small A\) die Ereignisse \(\small A_1; \space A_2; \space A_3; \space ...; A_k\) zerlegt werden, die paarweise unvereinbar, d.h. sie haben paarweise keine gemeinsame Elemente, dann gilt: \( \hspace{10mm} P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+...+P(A_k) \) |
2.1 rel. Häufigkeit I