5.6 Auswertung der Ableitung - Wendepunkte

Die Auswertung der Ableitungsfunktion \(f'\) einer Funktion \(f\) liefert Hinweise über deren Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) in ihrem Definitionsbereich.

Über das Vorzeichen der Ableitung können wir Bereiche (Monotoniebereiche) festlegen, ihn denen eine Funktion (streng) monoton steigt oder (streng) monoton fällt. Die Nullstellen der Ableitung liefern die x-Stellen, an denen der Graph die Steigung null hat, also ein Minimum, Maximum oder einen Terrassenpunkt aufweist.

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktion \(f\), deren Ableitungsfunktion \(f'\)und den der zweiten Ableitung \(f''\).

Die Nullstellen der ersten Ableitung \(f'\)  \(x_1=3\) und \(x_2 =7\) bestimmen die x-Werte von Minimum und Maximum.

Über das Vorzeichen von \(G_{f'}\) können wir das Monotonieverhalten von \(G_f\) angeben.

Für jeden x-Wert bestimmt die Funktion \(f'\) die jeweilige Tangentensteigung.
Wendepunkte

 

Extremstelle der Ableitungsfunktion


Bei genauer Betrachtung des Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) und des Graphen der Funktion \(f\) zeigt sich zudem folgender Zusammenhang:

Am x-Wert der Extremstelle der Ableitungsfunktion \(f'\) besitzt der Graph der Funktion \(f\) den Ort der größten Steigung bzw. des größten Gefälles zwischen seinem lokalen Maximum und seinem lokalen Minimum.

\( \Rightarrow\) Dieser Punkt wird auch als Wendepunkt \(WP\) bezeichnet!

 

Die Lage des Wendepunkts WP einer Funktion \(f\) wird offensichtlich durch die Extremstelle ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) festgelegt.

Die Berechnung dieser Stelle erfolgt also durch die Nullstelle der Ableitung "von der Ableitung":

\[  (f'(x_{wp}))' = f''(x_{wp}) = 0 \] 
\(f''(x)\) wird auch als zweite Ableitung der Funktion \(f\) bezeichnet.
 

 

Zusammengang Funktion, Ableitung und zweite Ableitung