Die Auswertung der Ableitungsfunktion \(f'\) einer Funktion \(f\) liefert Hinweise über deren Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) in ihrem Definitionsbereich.
Über das Vorzeichen der Ableitung können wir Bereiche (Monotoniebereiche) festlegen, ihn denen eine Funktion (streng) monoton steigt oder (streng) monoton fällt. Die Nullstellen der Ableitung liefern die x-Stellen, an denen der Graph die Steigung null hat, also ein Minimum, Maximum oder einen Terrassenpunkt aufweist.
Die Abbildung zeigt die
Graphen der Funktion \(f\), deren Ableitungsfunktion \(f'\)und den
der zweiten Ableitung \(f''\). Die Nullstellen der ersten Ableitung \(f'\) \(x_1=3\) und \(x_2 =7\) bestimmen die x-Werte von Minimum und Maximum. Über das Vorzeichen von \(G_{f'}\) können wir das Monotonieverhalten von \(G_f\) angeben. Für jeden x-Wert bestimmt die Funktion \(f'\) die jeweilige Tangentensteigung. |
|
|
Extremstelle der Ableitungsfunktion
Am x-Wert der Extremstelle der Ableitungsfunktion \(f'\) besitzt der Graph der Funktion \(f\) den Ort der größten Steigung bzw. des größten Gefälles zwischen seinem lokalen Maximum und seinem lokalen Minimum. \( \Rightarrow\) Dieser Punkt wird auch als Wendepunkt \(WP\) bezeichnet!
|