5.4 Funktion und Ableitungsfunktion

Aus den bisherigen Überlegungen in diesem Kapitel ist bereits deutlich geworden, dass zwischen einer beliebigen Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) wichtige Zusammenhänge bestehen.

 

Zusammenhänge von Funktion und Ableitung

Die Analyse der Ableitungsfunktion \(f'\) erlaubt einerseits eindeutige Rückschlüsse auf das Steigungsverhalten des Graphen der Funktion \(f\) und andererseits liefern diese Ergebnisse unmittelbar die Lage von Hochpunkten (MAX/HOP), Tiefpunkten (MIN/TIP) und Terrassenpunkten (TP).

  

Verlauf des Graphen \(G_f'\) Vorzeichen der Ableitung Rückschlüsse auf das Steigungsverhalten von \(G_f\)
\(G_{f'}\) verläuft unterhalb
der x-Achse
\(f'(x)<0\) \(G_f\) fällt streng monoton
\(G_{f'}\) hat an \(x_0\) eine Nullstelle \(f'(x_0)=0\) \(G_f\) hat an \(x_0\) Steigung 0,

d.h. es liegt ein  MIN, MAX oder TP vor.
\(G_{f'}\) verläuft über
   der x-Achse
\(f'(x)>0\) \(G_f\) steigt streng monoton

 

Graphische Analyse der Ableitung

  

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) bestimmen die Monotoniebereiche der Funktion \(f\).

Über die Lage des Graphen \(G_{f'}\) der Ableitung im Koordinatensystem kann das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) im jeweiligen Monotonieintervall eindeutig beschrieben werden, wodurch wiederum das Steigungsverhalten des Graphen \(G_f\) angegeben werden kann.

Funktion und Ableitung

 
Die graphische Aufbereitung der Zusammenhänge beruht auf folgenden Funktionstermen:

  • \(f(x)=0,03x^4+0,03x^3-0,3x^2\)
  • \(f'(x)=0,12x^3+0,09x^2-0,6x\) mit den Nullstellen \(x_1=-3\), \(x_2=0\) und \(x_3=2\)

  

Festlegung der Monotoniebereiche und Extremstellen

 

Grundlegende Zusammenhänge  
Das Video klärt grundlegende Zusammenhänge zw. dem Verlauf des Graphen von  \(f'(x)\), dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) im jeweiligen Monotonieintervall und dem Steigungsverhalten des Graphen \(G_f\). 
   
Graphisch - rechnerische Zusammenhänge
Das Video verbindet die Betrachgung des Vorzeichens der Ableitung mit  dem Verlauf des Graphen von  \(f'(x)\).

Entwicklung der Skizze des Graphen aus der Monotoniebetrachtung
Entwicklung der Skizze eines Graphen für eine Polynomfunktion.

Die Ableitungsfunktion hat lauter einfache Nullstellen.
   
Entwicklung der Skizze des Graphen aus der Monotoniebetrachtung
Entwicklung der Skizze eines Graphen für eine Polynomfunktion.

Die Ableitungsfunktion hat eine doppelte Nullstellen.

 


Übung:
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=x^4-4x^2\) mit ihrem Definitionsbereich \(D_f=R\).

Untersuche die Funktion auf:

  • Nullstellen
  • Verhalten im Unendlichen
  • Monotonieverhalten  mit Extremstellen

 

Lösungen: Notwendige Berechnungen
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